Група Баумслага — Солітера

Група Баумслага — Солітера — група з двома твірними ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ і одним співвідношенням

${\displaystyle ab^{m}a^{-1}=b^{n}.}$

Зазвичай, цю групу позначають ${\displaystyle BS(m,n)}$.

• ${\displaystyle BS(1,1)}$ це вільна абелева група з двома твірними.
• ${\displaystyle BS(1,-1)}$ фундаментальна група пляшки Кляйна.
• ${\displaystyle BS(1,n)}$ при ${\displaystyle n>1}$ ізоморфна підгрупі групи афінних перетворень дійсної прямої, породжена відображеннями ${\displaystyle a:x\to nx}$ і ${\displaystyle b:x\to x+1}$.
• Група ${\displaystyle BS(2,3)}$ (поряд з іншими групами ${\displaystyle BS(m,n)}$, для яких множини простих дільників чисел m і n не збігаються) є найвідомішим прикладом негопфової групи^[1]. А саме, епіморфізм ${\displaystyle \varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2}}$ не є автоморфізмом ${\displaystyle BS(2,3)}$.
• Група ${\displaystyle BS(n,m)}$ допускає лінійне подання ${\displaystyle a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}}$ і ${\displaystyle b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}}$ .
  • Це подання не є ефективним, тобто різні елементи групи можуть відповідати одному лінійному оператору.
• Група ${\displaystyle BS(m,n)}$ залишково скінченна тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle |m|=1}$, ${\displaystyle |n|=1}$, або ${\displaystyle |m|=|n|}$^[2].

• DJ Collins (2001), "Baumslag-Solitar group [Архівовано 26 червня 2010 у Wayback Machine.] ", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Gilbert Baumslag^[en] and Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups [Архівовано 29 листопада 2015 у Wayback Machine.], Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199—201. MR0142635

Це незавершена стаття з алгебри. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.