Група з операторами

Група з операторами(чи Ω-група) — в абстрактній алгебрі це алгебрична структура, що є групою з множиною Ω, яка діє на елемпенти групи.

Група з операторами вивчалась Еммі Нетер і її учнями в 1920-их. Вона використала її в теоремах про ізоморфізми.

Група з операторами ${\displaystyle (G,\Omega )}$ це група ${\displaystyle G=(G,\cdot )}$ з дією множини ${\displaystyle \Omega }$ на ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}$

що є дистрибутивною до операції групи:

${\displaystyle (g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }.}$

Для кожного ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, операція ${\displaystyle g\mapsto g^{\omega }}$ є ендоморфізмом G. Отже Ω-група може розглядатись як група G з індексованим сімейством ${\displaystyle \left(u_{\omega }\right)_{\omega \in \Omega }}$ ендоморфізмів G.

${\displaystyle \Omega }$ називається областю визначення операторів. асоційовані ендоморфізми називаються гомотетіями G.

Для двох груп G, H з однаковою ${\displaystyle \Omega }$, гомоморфізм груп з операторами це гомоморфізм груп ${\displaystyle \phi :G\to H}$, що задовільняє

${\displaystyle \phi \left(g^{\omega }\right)=(\phi (g))^{\omega }}$ для всіх ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ та ${\displaystyle g\in G.}$

Підгрупа S в G називається стабільною підгрупою, ${\displaystyle \Omega }$-підгрупою чи ${\displaystyle \Omega }$-інваріантною підгрупою якщо вона зберігає гомотетії, тобто:

${\displaystyle s^{\omega }\in S}$ для всіх ${\displaystyle s\in S}$ та ${\displaystyle \omega \in \Omega .}$

В теорії категорій, група з операторами може бути визначена як об'єкт категорії функторів Grp^M, де M — моноїд (тобто категорія з одним об'єктом), а Grp — категорія груп.

Морфізм в цій категорії, це натуральне перетворення між двома функторами (тобто, дві групи з операторами мають одну й ту ж саму область визначення операторів M).

Група з операторами також є відображенням

${\displaystyle \Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}$

де ${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)}$ є множиною ендоморфізмів групи G.

• Довільна група G, (G, ∅) є групою з операторами.
• module M над кільцем R, R задає кратність (множення на скаляр) для елементів абелевої групи M, тому (M, R) є групою з операторами.
• Як частковий випадок попереднього: векторний простір над полем k є групою з операторами (V, k).

• Дія групи
• Композиційний ряд

• Bourbaki. Algebra, Part I. — Hermann, 1973. — С. 516. — (Елементи математики)(англ.)
• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)