Гіперобчислення

Гіперобчисленнями або надтюрінговими обчисленнями, (англ. hypercomputation) називають такі обчислення, які не можуть бути виконані на машині Тюрінга. Вони включають в себе різноманітні гіпотетичні методи, засновані на суперрекурсивних алгоритмах^[en], а також деякі інші типи обчислень — наприклад, інтерактивні обчислення. Термін гіперобчислення був вперше введений Джеком Коуплендом^[en] та Діаною Праудфут^[1].

Терміни не можна назвати синонімами: «надтюрінгове обчислення» на відміну від «гіперобчислення», як правило, означає, що запропонована модель повинна бути фізично реалізованою.

Можливість фізичної реалізації таких обчислень активно обговорюється.

Моделі більш потужні, ніж машина Тюрінга, були введені Аланом Тюрінгом в його роботі 1939 року Системи логік, засновані на ординалах^[en][2]. Ця робота досліджувала математичні системи, в яких існував оракул, який міг вирахувати одну довільну нерекурсивну функцію на множині натуральних чисел. Він використав цю модель для того, щоб показати, що навіть у такій, більш потужній системі, все одно присутні необчислювані функції. У своїй роботі Тюрінг ясно дав зрозуміти, що така модель є не більш ніж математичною абстракцією і не може бути реалізована в реальному світі^[3].

• Машина Тюрінга, яка може виконати нескінченну кількість кроків за скінченний час (просто можливість роботи машини Тюрінга протягом нескінченного часу (тобто потенційна нескінченність) недостатня). Один з передбачуваних способів досягти такого результату — використовувати уповільнення часу для того, щоб дозволити комп'ютеру зробити нескінченну кількість циклів за скінченний по годинах для зовнішнього спостерігача час (таке обчислення потребують нескінченної енергії — див. простір-час Маламета — Хогарта). Ще одним, чисто математичним, способом є так звана машина Зенона, заснована на парадоксі Зенона. Машина Зенона виконує свій перший крок обчислень за час, наприклад, 1 хвилину, другий за ½ хвилини, третій за ¼ хвилини і т. д. Підсумовуючи цю нескінченну геометричну прогресію, ми отримаємо, що машина виконує нескінченну кількість кроків протягом 2 хвилин. Однак, деякі стверджують, що, відповідно до міркуваннь в парадоксі Зенона, така машина не лише фізично, а й логічно неможлива.^[4]
• Оригінальні оракул-машини Тюрінга, що були ним винайдені у 1939.
• Дійсний комп'ютер (підвид ідеалізованого аналогового комп'ютера) здатний здійснювати гіперобчислення^[5] за умови, що фізика припускає існування справжніх дійсних чисел. Це, ймовірно, вимагає існування якихось дуже дивних законів фізики (наприклад наявності вимірної фізичної константи, яка може бути використана як оракул — див., наприклад, константа Хайтина^[en]) та повинно, як мінімум, вимагати можливості вимірювання фізичних констант з довільною точністю, незважаючи на тепловий шум і квантовомеханічні ефекти.
• Вічна машина Тюрінга — це узагальнення машини Зенона, яка може виконати невизначено тривале обчислення, кроки в якому перенумеровані потенційно трансфінітно ординальними числами. Вона моделює звичайну у всіх інших сенсах машину Тюрінга, для якої незупинні обчислення завершуються шляхом досягнення спеціального стану, зарезервованого для досягнення граничного ординалу^[en], і для якої доступні результати всіх попередніх нескінченних обчислень.^[6]
• Квантовомеханічні системи, які якимось чином використовують, наприклад, нескінченну суперпозицію станів для обчислення необчислюваних функцій.^[7] Це неможливо при використанні стандартного квантового комп'ютера, оскільки доведено, що звичайний квантовий комп'ютер PSPACE-зводимий (квантовий комп'ютер, що працює поліноміальний час, може бути змодельований на класичному комп'ютері, що використовує поліноміальний простір).^[8]
• Техніка, відома як необмежений детермінізм, може дозволяти обчислення необчислюваних функцій. Це питання є предметом обговорення в літературі.
• Використання замкнених часоподібних кривих, всупереч поширеній думці, не дозволяє виконувати надтюрінгове обчислення, оскільки відсутній нескінченний об'єм пам'яті.
• На початку 1990-х Хава Сігельманн^[9] запропонувала модель, засновану на нескінченній еволюції нейронних мереж, здатну проводити гіперобчислення.^[10]

Надтюрінгові обчислення мають багато пропозицій альтернативних способів, щоб прочитати оракул або консультативну функцію^[en] вбудовані в іншому випадку класичної машині. Інші надають доступ до деяких вищих рівнів арифметичної ієрархії^[en]. Наприклад, багатофунуціональна машина Тюрінга, при звичайних припущеннях, зможе обчислити будь-який предикат, який містить ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$ або ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$. За допомогою обмеження рекурсії, навпаки, можна обчислити будь-який предикат або функцію у відповідному тюрінговому степені, який, як відомо, дорівнює ${\displaystyle \Delta _{2}^{0}}$. Далі Ґолд^[en] показав, що обмеження часткової рекурсії дозволить обчислювати саме предикати ${\displaystyle \Sigma _{2}^{0}}$

Модель	Обчислювані предикати	Примітки	Посилання
Баготофункціональність	tt(${\displaystyle \Sigma _{1}^{0},\Pi _{1}^{0}}$)	Залежно від зовнішнього спостерігача
Обмеження / проб і помилок	${\displaystyle \Delta _{2}^{0}}$
Повторне обмеження ( K разів)	${\displaystyle \Delta _{k+1}^{0}}$
Простір Маламента-Хогарта[en]	HYP[en]	Залежно від просторово-часової структури	[11]
Аналоговорецидивуюча нейронна мережа	${\displaystyle \Delta _{1}^{0}[f]}$		[12][13]
Недетермінована машина Тюрінга	${\displaystyle \geq T(\Sigma _{1}^{1})}$		[14]
Підвищення функції оракула	${\displaystyle \Delta _{1}^{1}}$	Для моделі з однією послідовності; ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$

Мартін Девіс, у своїх працях із надтюрінгових обчислень^[15][16] ставиться до цієї теми, як до «міфу» та пропонує контраргументи до фізичної реалізованості надтюрінгових обчислень. Що стосується його теорії, він полемізує й стверджує, що це нове поле, засноване в 1990-х. Ця точка зору ґрунтується на історії теорії обчислюваності (ступеня нерозв'язності, обчислюваності над функціями, дійсних чисел та ординалів).

• Теза Черча
• Пророча машина
• Машина Зенона
• Обчислення
• Апорії Зенона