Гіпотеза Андріци

Графічне свідчення на підтримку гіпотези Андріци для перших (а) 100, (б) 200 і (в) 500 простих чисел. Функція ${\displaystyle A_{n}}$ завжди менша від 1.

Гіпотеза Андріци — гіпотеза щодо інтервалів між простими числами, згідно з якою нерівність:

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}$

виконується для всіх ${\displaystyle n}$, де ${\displaystyle p_{n}}$ є ${\displaystyle n}$ -м простим числом. якщо ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ означає ${\displaystyle n}$ -й інтервал, то гіпотезу Андріци можна переписати як:

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1}$.

Сформулював румунський математик Дорін Андріца 1986 року ^[1].

На початку 2000-х років з використанням даних про найбільші інтервали простих чисел гіпотезу перевірено аж до ${\displaystyle 1{,}3002\times 10^{16}}$^[2]. Використовуючи таблицю максимальних інтервалів і нерівність для інтервалів, можна розширити значення підтвердження аж до ${\displaystyle 4\times 10^{18}}$.

Існує графічна ілюстрація гіпотези: для дискретної функції ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$ (функції Андріци) найбільше значення спостерігається в точці ${\displaystyle n=4}$ зі значенням ${\displaystyle A_{4}\approx 0{,}670873\dots }$, і більших значень немає серед перших 10⁵ простих чисел. Оскільки функція Андріци асимптотично спадає в міру зростання ${\displaystyle n}$, гіпотеза з великою ймовірністю правильна, але залишається недоведеною.

Як узагальнення гіпотези Андріци розглядається така рівність:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

де ${\displaystyle p_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-е просте, а ${\displaystyle x}$ може бути будь-яким додатним (дійсним) числом.

Найбільший можливий розв'язок за ${\displaystyle x}$ знаходиться при ${\displaystyle n=1}$, коли ${\displaystyle x_{\max }=1}$. Є гіпотеза, що найменше значення ${\displaystyle x}$ дорівнює ${\displaystyle x_{\min }\approx 0{,}567148\dots }$, яке знаходиться при ${\displaystyle n=30}$.

Ця гіпотеза формулюється у вигляді нерівності, яка узагальнює гіпотезу Андріци:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$ для ${\displaystyle x<x_{\min }}$.

• Гіпотеза Крамера
• Гіпотеза Лежандра
• Гіпотеза Фірузбехта

• Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2.
• Andrica D. Note on a conjecture in prime number theory // Studia Univ. Babes–Bolyai Math.. — 1986. — Т. 31, № 4. — С. 44–48. — ISSN 0252-1938.
• Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. — John Wiley & Sons, Inc., 2005. — ISBN 0-471-46234-9.

• Andrica 's Conjecture на PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture [Архівовано 27 грудня 2019 у Wayback Machine.] на PlanetMath
• Weisstein, Eric W. Andrica's Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.