Гіпотеза Каталана

Гіпотеза Каталана — твердження в теорії чисел:

Рівняння

$x^{a}-y^{b}=1\quad (x,y,a,b>1)$

має єдиний розв'язок у натуральних числах: $x=3,\ a=2,\ y=2,\ b=3$ .

Іншими словами, крім $2^{3}=8$ і $3^{2}=9$ не існує інших послідовних степенів натуральних чисел.

Гіпотезу сформулював Ежен Каталан 1844 року^[1]^[2].

2002 року математик румунського походження Преда Міхалеску^[en] в університеті міста Падерборн (Німеччина) довів цю гіпотезу^[3]. Відтоді доведену гіпотезу Каталана стали також називати теоремою Міхалеску.

Історія

Історія задачі сягає принаймні з Герсоніда, який довів частковий випадок гіпотези в 1343 році, де (x, y) було обмежено як (2, 3) або (3, 2).

Перший значний прогрес після того, як Каталан висловив свою гіпотезу, з'явився 1850 року, коли Віктор-Амеде Лебег^[de] розглянув випадок b = 2. Він довів, що рівняння x^m - y² = 1 не має розв'язку для y≠3^[4].

1921 року Т. Нагель повністю дослідив рівняння $x^{3}-z^{t}=1$ і $x^{y}-z^{3}=1$ для y≠2^[5].

Для рівняння $x^{4}-z^{t}=1$ задачу вирішив Сельберг (1932), а для рівняння $x^{2}-z^{t}=1$ — китайський математик Ко Чао (1960)^[5].

Таким чином гіпотезу було доведено в кількох окремих випадках.

Фундаментальний прорив стався в середині XX-го сторіччя, коли Кассельс довів таку теорему^[5]:

Нехай p та q — прості числа, такі, що p > q ≥ 2; a та b — цілі числа, більші одиниці, і

$a^{p}-b^{q}=\pm 1$

Тоді a ділиться на q, а b ділиться на p.

Разом із деякими раннішими результатами теорема Кассельса вже дозволяла стверджувати, що якщо гіпотеза Каталана й не справджується, то лише для досить великих чисел (a, b > 10⁵)^[5].

1976 року Роберт Тейдеман^[en] застосував метод Бейкера^[en] в теорії трансцендентності для встановлення меж на a, b і використав існуючі результати, що обмежують x, y через a, b, щоб отримати ефективну верхню межу для x, y, a, b . Мішель Ланжевен обчислив значення $\exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}$ для межі.^[6] Це розв'язало гіпотезу Каталана для всіх випадків, крім деякої скінченної (втім, дуже великої) кількості. Проте, остаточні обчислення, необхідні для завершення доведення теореми, були занадто трудомісткими.

Гіпотезу Каталана довів Преда Міхалеску в квітні 2002 року. Доведення опубліковано 2004 року в Journal für die reine und angewandte Mathematik. Воно широко застосовує теорію кругових полів та модулі Галуа^[en]. Юрій Білу продемонстрував доведення на семінарі Бурбакі^[en]^[7]. У 2005 році Міхалеску опублікував спрощене доведення^[8].

Узагальнення

Узагальненням гіпотези Каталана є гіпотеза Піллаї^[9]:

Для будь-якого натурального k (k>1) рівняння

$x^{m}-y^{n}=k$

має лише скінчену кількість розв'язків $(x,y,m,n)$ у натуральних числах для $(m,n)\neq (2,2)$ .

Див. також

Гіпотеза Ферма — Каталана

Примітки

↑ E. Catalan. Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur // J. Reine Angew. Math.. — 1844. — Vol. 27, n^o 192 (13 juin). — P. 165–186.
↑ Стюарт, 2015, с. 170.
↑ P. Mihăilescu. Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture // J. Reine angew. Math.. — 2004. — Vol. 572, no. 572 (13 June). — P. 167–195. — DOI:10.1515/crll.2004.048. Архівовано з джерела 22 жовтня 2012. Процитовано 12 січня 2021.
↑ Victor-Amédée Lebesgue (1850), Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x^m=y²+1, Nouvelles annales de mathématiques, 1^re série, 9: 178—181
↑ ^а ^б ^в ^г Сендеров, Френкин, 2007.
↑ Ribenboim, Paulo (1979), 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-Verlag, с. 236, ISBN 0-387-90432-8, Zbl 0456.10006
↑ Bilu, Yuri (2004), Catalan's conjecture, Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923, Astérisque, т. 294, с. 1—26, архів оригіналу за 14 січня 2021, процитовано 12 січня 2021
↑ Mihăilescu, 2005
↑ Weisstein, Eric W. Pillai's Conjecture. MathWorld — A Wolfram Web Resource. Архів оригіналу за 6 грудня 2021. Процитовано 6 грудня 2021.

Література

Сендеров, В. . Гипотеза Каталана / В. Сендеров, Б. Френкин // Квант. — 2007. — № 4.
Jeanine Daems. A cyclotomic proof of Catalan's conjecture.
Yuri F. Bilu. Catalan's conjecture (after Mihailescu). — 2002. — 13 червня. Архівовано з джерела 4 березня 2016. Процитовано 12 січня 2021.
Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
Mihăilescu, Preda. Reflection, Bernoulli numbers and the proof of Catalan's conjecture // European Congress of Mathematics. — Zurich, 2005. — С. 325—340.