Диференціальний інваріант

Диференціальним інваріантом називається інваріант дії групи Лі у просторі, що включає не лише функції а і їхні похідні. Диференціальні інваріанти є фундаментальними об'єктами для проективної диференціальної геометрії, зокрема, кривина часто вивчається саме з цієї точки зору.^[1] Диференціальні інваріанти були вперше введені Софусом Лі на початку 1880-ті рр. Стаття ( Lie 1884) була першою роботою з диференціальних інваріантів в якій встановлено взаємозв'язок між диференціальними інваріантами, інваріантами диференціальних рівнянь та інваріантними диференціальними операторами.

Диференціальні інваріанти контрастують з геометричними інваріантами. У той час як диференціальні інваріанти можуть включати визначений вибір незалежних змінних (або параметризацію), геометричні інваріанти цього не потребують. Метод рухомих кадрів, який є вдосконаленням методу рухомих кадрів Елі Картанa, надає кілька нових потужних інструментів для знаходження та класифікації еквівалентності та симетрії властивостей підманіфолдів, диференціальних інваріантів та їх синьоз. Хоча метод рухомих кадрів є менш загальним, ніж методи Лі диференціальних інваріантів, він завжди дає інваріанти геометричного типу ^[2].

Найпростіший випадок — це диференціальні інваріанти для однієї незалежної змінної x та однієї залежної змінної y . Нехай G  — група Лі, що діє на R². Тоді G також діє локально на просторі усіх графіків вигляду y = ƒ(x). Грубо кажучи, диференціальний інваріант k -го порядку є функцією

${\displaystyle I\left(x,y,{\frac {dy}{dx}},\dots ,{\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}\right)}$

залежною від y та її k -х похідних відносно x , і яка є інваріантом відносно дії групи.

Група може діяти на похідні вищого порядку нетривіально, що вимагає обчислення продовження дії групи. Дія G на першу похідну, наприклад, є такою: якщо

${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})=g\cdot (x,y),}$

тоді

${\displaystyle g\cdot \left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right){\stackrel {\text{def}}{=}}\left({\overline {x}},{\overline {y}},{\frac {d{\overline {y}}}{d{\overline {x}}}}\right).}$

Подібні міркування застосовуються для обчислення вищих продовжень. Однак цей метод обчислення продовження дії непрактичний, і набагато простіше працювати на рівні алгебри Лі та похідної Лі вздовж дії G .

• Guggenheimer, Heinrich (1977), Differential Geometry, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-63433-3.
• Lie, Sophus (1884), Über Differentialinvarianten, Gesammelte Adhandlungen, т. 6, Leipzig: B.G. Teubner, с. 95—138; English translation: Ackerman, M; Hermann, R (1975), Sophus Lie's 1884 Differential Invariant Paper, Brookline, Mass.: Math Sci Press.
• Olver, Peter J. (1993), Applications of Lie groups to differential equations (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94007-6.
• Olver, Peter J. (1995), Equivalence, Invariants, and Symmetry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-47811-3.
• Mansfield, Elizabeth Louise (2009), A Practical Guide to the Invariant Calculus (PDF)^{[недоступне посилання з 01.12.2016]}; to be published by Cambridge 2010, ISBN 978-0-521-85701-7.

• Invariant Variation Problems [Архівовано 10 березня 2008 у Wayback Machine.]