Задача Коші для рівняння теплопровідності

Класичною задачею Коші для рівняння теплопровідності називається задача^[1] знаходження функції ${\displaystyle u=u(x,t)}$, визначеної в області ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0\}}$, яка є розв’язком рівняння теплопровідності ${\displaystyle \Delta u-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {f(x,t)}{k}},\;x\in \mathbb {R} ^{n},\;t\geq 0}$ і задовільняє початкові умови: ${\displaystyle u(x,0)=\phi (x),\;x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0}$,

${\displaystyle \;\phi ,f}$-задані функції

Дана задача описує процес поширення тепла в необмеженій області (${\displaystyle u}$-температура), якщо задана температура всіх точок при ${\displaystyle t=0}$

Класичним розв'язком задачі Коші для рівняння теплопровідності називається функція ${\displaystyle u(x,t)\in C_{x,t}^{2,1}(\mathbb {R} ^{n}\times (0;\infty ))\cap C(\mathbb {R} ^{n}\times [0;\infty ))}$, яка є розв'язком рівняння теплопровідності в області ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0\}}$ ,і задовільняє початкові умови на множині ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n},\;t=0\}}$

Необхідною умовою існування розв'язку є ${\displaystyle \phi (x)\in C(\mathbb {R} ^{n}),\;f(x,t)\in C(\mathbb {R} ^{n}\times (0;\infty ))}$

Єдиність розв'язку задачі Коші для рівняння теплопровідності: Якщо в класі неперервних і обмежених функцій існує розв'язок задачі Коші для рівняння теплопровідності, то він єдиний.

^[2]

Розглянемо однорідне рівняння теплопровідності ${\displaystyle \Delta u-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial t}}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},\;t\geq 0}$

Якщо шукати розв'язок цього рівняння методом відокремлення змінних ${\displaystyle u=X(x)T(t)}$ то ${\displaystyle e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}}$ буде частинним розв'язком(${\displaystyle \lambda ^{2}=const}$)

Тоді розв'язком буде ${\displaystyle I(x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}\,d\lambda }$, якщо він збігається і його можна почленно диференціювати двічі по ${\displaystyle x}$ і один раз по ${\displaystyle t}$.

Диференціювання по ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\lambda \sin {\lambda x}\,d\lambda ={\frac {1}{2a^{2}t}}\int _{-\infty }^{+\infty }\sin {\lambda x}\,de^{-a^{2}\lambda ^{2}t}={\frac {1}{2a^{2}t}}\left[\left.\sin {\lambda x}e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\right|_{-\infty }^{+\infty }-x\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}\,d\lambda \right]={\frac {x}{2a^{2}t}}I(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}={\frac {x}{2a^{2}t}}I(x,t)}$

${\displaystyle I(x,t)=ce^{-{\frac {x^{2}}{4a^{2}t}}}}$

${\displaystyle I(0,t)=c=\left.{\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}\,d\lambda }\right|_{x=0}=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}={\begin{vmatrix}a\lambda {\sqrt {t}}=\xi \\a{\sqrt {t}}\;d\lambda =d\xi \\d\lambda ={\frac {d\xi }{a{\sqrt {t}}}}\end{vmatrix}}={\frac {1}{a{\sqrt {t}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\xi ^{2}}\;d\xi ={\frac {\sqrt {\pi }}{a{\sqrt {t}}}}\;\Rightarrow \;I(x,t)={\frac {\sqrt {\pi }}{a{\sqrt {t}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4a^{2}t}}}}$

Внаслідок однорідності рівняння,якщо розв'язок поділити на константу то цей вираз буде теж розв'язком.

${\displaystyle \varepsilon (x,x',t)={\frac {1}{2\pi }}I(x-x',t)={\frac {1}{2a{\sqrt {\pi t}}}}e^{-{\frac {(x-x')^{2}}{4a^{2}t}}}}$ -фундаментальний розв'язок рівняння теплопровідності при ${\displaystyle n=1}$.

Узагальнення фундаментального розв'язку рівняння теплопровідності для довального ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \varepsilon (x,x',t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}e^{-{\frac {|x-x'|^{2}}{4a^{2}t}}},\;|x-x'|^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i}')^{2},\;x'}$-параметр.

1. Фундаментальний розв'язок є не нескінченно диференційованою по ${\displaystyle x}$ і по ${\displaystyle t}$ функцією за винятком ${\displaystyle x=x',t=0}$.
2. Функція ${\displaystyle \varepsilon }$, як функція від ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle t}$ є розв'язком однорідного рівняння теплопровідності
3. ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\varepsilon (x,x',t)\;dx'=1,\;t>0}$
4. Нехай ${\displaystyle f(x)}$- неперервна і обмежена функція у просторі ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ,t>0\}}$ .Тоді має місце гранична рівність:

${\displaystyle \lim _{t\to 0+}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x')\varepsilon (x,x',t)\;dx'=f(x)}$

Властивості 3,4 вказують на те, що функція ${\displaystyle \varepsilon }$ є ${\displaystyle \delta }$-функцією, тобто ${\displaystyle \;\varepsilon (x,x',t)\;\rightarrow \;\delta (x-x'),\;t\to 0+}$.

^[2]

Нехай в точці ${\displaystyle x'\in \mathbb {R} ^{n}}$ в момент часу ${\displaystyle t=0}$, до якого температура точок області була нульовою, миттєво виділяється одинична кількість тепла. За рахунок цього тепла температура точок простору підвищується.

Позначення:

  ${\displaystyle u(x,t)}$ -температура ${\displaystyle t>0}$;

  ${\displaystyle dx}$ -елемент об'єму;

  ${\displaystyle \rho }$ - густина;

  ${\displaystyle c}$- теплоємність.

Для підвищення температури об'єму ${\displaystyle dx}$ на величину ${\displaystyle u(x,t)}$ необхідно витратити таку кількість тепла ${\displaystyle dQ=\rho cu(x,t)dx}$. За законом збереження тепла ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho cu(x,t)dx=1}$.

Підінтегральна функція ${\displaystyle u(x,t)}$ , а значить і функція ${\displaystyle \rho cu(x,t)}$, є розв'язком однорідного рівняння теплопровідності.

Такі властивості має і фундаментальний розв'язок, отже, можна покласти ${\displaystyle \;\rho cu(x,t)=\varepsilon (x,x',t)}$

      ${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\rho c}}\varepsilon (x,x',t)}$

Таким чином, фундаментальний розв'язок з точністю до множника ${\displaystyle {\frac {1}{\rho c}}}$ являє собою температуру в точці ${\displaystyle x}$ в момент часу ${\displaystyle t=0}$, при умові, що температура в цьому просторі до цього моменту дорівнювала ${\displaystyle 0}$.

Функцію ${\displaystyle \varepsilon }$ ще називають функцією одиничного миттєвого джерела. Графіком розв'язку цієї функції від ${\displaystyle x}$ для фіксовного ${\displaystyle x'}$ і моментів ${\displaystyle 0<t_{1}<t_{2}<\cdots }$ є криві, що називаються кривими Гауса. Площа під кожною кривою рівна ${\displaystyle 1}$.

Розв'язок задачі Коші має вигляд ${\displaystyle u(x,t)=u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t)}$,

де ${\displaystyle u_{1}(x,t)}$ -розв'язок задачі Коші:

${\displaystyle \Delta u_{1}-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},t>0}$,

${\displaystyle \left.u_{1}\right|_{t=0}=\phi (x),\;x\in \mathbb {R} ^{n}}$;

${\displaystyle u_{2}(x,t)}$ -розв'язок задачі Коші:

${\displaystyle \Delta u_{2}-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}=-{\frac {f}{k}},\;x\in \mathbb {R} ^{n},t>0}$,

${\displaystyle \left.u_{2}\right|_{t=0}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n}}$.

${\displaystyle u_{1}(x,t)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x')\varepsilon (x,x',t)\;dx'}$

${\displaystyle u_{2}(x,t)=\int _{0}^{t}\eta (x,t,t_{0})\;dt_{0}}$,

де функція ${\displaystyle \eta }$ є розв'язком задачі:

${\displaystyle \Delta \eta -{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},t>0}$,

${\displaystyle \left.\eta (x,t,t_{0})\right|_{t=t_{0}}={\frac {a^{2}}{k}}f(x,t_{0}),\;x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \eta (x,t,t_{0})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {a^{2}}{k}}f(x',t_{0})\varepsilon (x,x',t-t_{0})\;dx'}$

Таким чином, розв'язок задачі Коші для рівняння теплопровідності має вигляд:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x')e^{-{\frac {|x-x'|^{2}}{4a^{2}t}}}\;dx'+}$

${\displaystyle +\int _{0}^{t}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (t-t_{0})}})^{n}}}{\frac {a^{2}}{k}}f(x',t_{0})e^{-{\frac {|x-x'|^{2}}{4a^{2}(t-t_{0})}}}\;dx'\,dt_{0}}$ - формула Пуассона