Збіжність за мірою у теорії міри, функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це вид збіжності вимірних функцій заданих на просторі з мірою.
Частковим випадком міри є ймовірність, відповідно, збіжність за ймовірністю є частковим випадком збіжності за мірою.
Збіжність за ймовірністю у теорії ймовірностей — це вид збіжності випадкових величин заданих на ймовірнісному просторі.
Збіжність за мірою
Нехай
— простір з мірою
— вимірні функції на цьому просторі. Говорять, що послідовність функцій
збігається за мірою до функції
, якщо:
.
Позначення:
.
Збіжність за ймовірністю
Нехай дано імовірнісний простір
, з визначеною на ньому послідовністю випадкових величин
. Якщо для як завгодно малого
, ймовірність нерівності
зі збільшенням
необмежено наближається до нуля, то говорять, що послідовність
збігається за ймовірністю до величини
.
Тобто,
.
Цю границю можна записати в інший спосіб:
.
Позначення збіжності за ймовірністю:
.
Зауваження
Визначення збіжності за мірою (за ймовірністю) може бути узагальнене для відображень (випадкових елементів), що набувають значень у довільному метричному просторі.
Властивості збіжності за мірою
- Якщо послідовність функцій
збігається за мірою до
, то з неї можна виділити підпослідовність
, що збігається до
— майже всюди.
- Якщо послідовність функцій
збігається за мірою до
, і
, де
, то
, і
збігається до
у
.
- Якщо послідовність функцій
збігається
-майже усюди до
, то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.
- Якщо послідовність функцій
збігається в
до
, то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.
- Якщо послідовність випадкових величин
збігається за ймовірністю до
, то вона збігається до
і за розподілом.
Джерела