Згасні коливання

Згасні́ колива́ння — коливання, енергія яких зменшується з плином часу.

Процес, що триває нескінченно, вигляду ${\displaystyle \scriptstyle u(t)=A\cos(\omega t+q)}$ в природі неможливий. Вільні коливання будь-якого осцилятора рано чи пізно загасають і припиняються. Тому на практиці звичайно мають справу зі згасними коливаннями. Вони характеризуються тим, що амплітуда коливань A є спадною функцією. Зазвичай загасання відбувається під дією сил опору середовища, найчастіше залежних лінійно від швидкості коливань ${\displaystyle \scriptstyle u'_{t}}$ або її квадрату.

В акустиці: загасання — зменшення рівня сигналу до повної нечутності.

Коливання можна описати такими типами:

• Надзгасні (англ. overdamped): Система повертається до рівноваги без коливань.
• Критично згасні (англ. critically damped): Система повертається до рівноваги так швидко як це можливо без коливань.
• Слабко згасні (англ. underdamped): Система коливається (з меншою частотою порівняно до незгасного випадку) з амплітудою, що поступово зменшується до нуля.
• Незгасні (англ. undamped): Система коливається в її природній власній частоті (${\displaystyle \omega _{0}}$).

Особливо корисний у математиці тип згасання — лінійне. Лінійне згасання зустрічається за умови коли змінна коливання амортизується силою, що впливає на неї прямо пропорційно до миттєвої швидкості змінювання, швидкості або похідної по часу самої змінної.

У фізиці й інженерії, згасання математично можна змоделювати як силу синхронну зі швидкістю об'єкта, але в протилежному напрямку до неї. Якщо ця сила пропорційна швидкості, як для простого механічного демпфера, силу ${\displaystyle F}$ можна співвіднести зі швидкістю ${\displaystyle v}$ так

${\displaystyle F=-cv\,,}$

де c — коефіцієнт згасання, заданий в одиницях ньютон-секунда на метр.

Цю силу можна використовувати як приблизне тертя спричинене опором середовища і можна втілити за допомогою демпфера. (Цей пристрій використовує в'язку рідину, таку як мастило, для забезпечення спротиву який лінійно співвідноситься зі швидкістю.) Навіть коли тертя пов'язане з ${\displaystyle v^{2}}$, якщо швидкість обмежена маленьким діапазоном, то цій нелінійний вплив може бути маленьким. У такому разі, можна визначити лінеаризований коефіцієнт тертя ${\displaystyle c_{lin}}$ так, що він дає маленьку помилку.

Якщо наявна відновлювальна сила (така як завдяки пружині), яка пропорційна зміщенню ${\displaystyle x}$ і у протилежному напрямку, то через прирівнювання суми цих двох сил до маси об'єкта помноженої на прискорення можемо отримаємо диференціальне рівняння другого порядку чиї члени можна вишикувати таким чином:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$

де ω₀ це незгасна кутова частота осцилятора і ζ відома як коефіцієнт згасання. Це рівняння чинне для багатьох коливальних систем, але з різними формулами для швидкості згасання і незгасної кутової швидкості.

Значення швидкості згасання ζ визначає поведінку системи так, що ζ = 1 відповідає критично згасним коливанням, більші значення відповідають надзгасним, а менші значення слабко згасним коливанням. Якщо ζ = 0, тоді коливання незгасні.

Ідеальна система маса-пружина-демпфер з масою m, коефіцієнтом жорсткості k і в'язким демпфером з коефіцієнтом в'язкості c піддається коливальній силі

${\displaystyle F_{\mathrm {s} }=-kx\,}$

і гамувальній силі

${\displaystyle F_{\mathrm {d} }=-cv=-c{\frac {dx}{dt}}=-c{\dot {x}}.}$

Розглядаючи масу як вільне тіло і застосовуючи другий закон Ньютона, сумарна сила F_tot на тіло така

${\displaystyle F_{\mathrm {tot} }=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=m{\ddot {x}}.}$

де a це прискорення маси і x це зміщення маси щодо фіксованої точки.

Оскільки F_tot = F_s + F_d,

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx+-c{\dot {x}}.}$

Це диференціальне рівняння можна перегрупувати як

${\displaystyle {\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0.\,}$

Тоді визначені такі параметри:

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k \over m}}}$

${\displaystyle \zeta ={c \over 2{\sqrt {mk}}}.}$

Перший параметр, ω₀, називається (незгасна) природна частота системи. Другий параметр, ζ, називається швидкість згасання. Природна частота представляє кутову частоту, виражена в радіанах на секунду. Швидкість згасання є безрозмірнісною величиною.

Тепер диференційне рівняння набуває вигляду

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.\,}$

Продовжуючи, ми можемо розв'язати рівняння припускаючи розв'язок x таким що:

${\displaystyle x=e^{\gamma t}\,}$

де параметр ${\displaystyle \gamma }$ є, загалом кажучи, комплексним числом.

Підставляння цього розв'язку назад у диференціальне рівняння дає

${\displaystyle \gamma ^{2}+2\zeta \omega _{0}\gamma +\omega _{0}^{2}=0\,,}$

що є характеристичним рівнянням.

Розв'язування характеристичного рівняння надасть нам два корені, ${\displaystyle \gamma _{+}}$ і ${\displaystyle \gamma _{-}}$. Які можуть бути або обидва дійсні, відмінні чи однакові, або обидва комплексні.

Поведінка системи залежить від співвідношення значень двох засадничих параметрів, природної частоти ω₀ і коефіцієнту згасання ζ. Зокрема, якісна поведінка системи критично залежить на тому чи квадратне рівняння для γ має одне дійсне, два дійсних, чи два спряжених комплексних розв'язки.