Зовнішня міра

В математиці, зокрема в теорії міри, зовнішня міра — це функція, визначена на всіх підмножинах даної множини з дійсним значенням, що задовольняє кільком додатковим технічним умовам.

Загальна теорія зовнішньої міри була розроблена Каратеодорі з метою забезпечити основу для теорії вимірних множин і зліченно-адитивних мір. Роботи Каратеодорі з зовнішньої міри знайшли чимало застосувань в теорії вимірних множин (зовнішня міра, наприклад, використовується в доведенні фундаментальної теореми Каратеодорі про продовження), і була використана Гаусдорфом для визначення метричного інваріанту, що узагальнює розмірність, зараз він зветься Гаусдорфовою розмірністю.

Міра узагальнює довжину, площу і об'єм, але також находить застосування для багатьох абстрактніших і незвичних речей, крім інтервалів або ж куль в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Для довільної підмножини ${\displaystyle E}$ числової прямої можна знайти як завгодно багато різних систем зі скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину ${\displaystyle E}$. Назвемо такі системи покриттями. Оскільки сума довжин інтервалів, що складають будь-яке покриття, є величиною невід'ємною, вона обмежена знизу, і, значить, множина довжин всіх покриттів має точну нижню межу. Ця грань, залежна тільки від множини ${\displaystyle E}$, і називається зовнішньою мірою:

${\displaystyle m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}}$

Варіанти позначення зовнішньої міри:

${\displaystyle m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}}$

Нехай ${\displaystyle X}$ — фіксована універсальна множина.

Зо́внішньою мі́рою називається функція ${\displaystyle \mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]}$ така, що

1. ${\displaystyle \mu ^{*}(\varnothing )=0}$;
2. ${\displaystyle \forall A\subseteq X,\,\forall A_{n}\subset X,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})}$.

Нехай ${\displaystyle \mu }$ — міра, визначена на кільці ${\displaystyle K}$. Зовнішньою мірою, породженою мірою ${\displaystyle \mu }$, називається функція ${\displaystyle \mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]}$ така, що

1. ${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf {\bigl \{}\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}){\bigr \}},\;A_{n}\subset K,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ якщо хоч одне таке покриття множини ${\displaystyle A}$ існує;
2. ${\displaystyle \mu ^{*}(A)=+\infty }$ в іншому випадку.

Теорема. Зовнішня міра ${\displaystyle \mu ^{*}}$, породженна мірою ${\displaystyle \mu }$, є зовнішньою мірою.

${\displaystyle \vartriangleright }$ Перевіримо пункт перший з означення зовнішньої міри. ${\displaystyle \mu \geqslant 0\Rightarrow \mu ^{*}\geqslant 0}$. ${\displaystyle \mu ^{*}}$ визначена на ${\displaystyle 2^{X}}$.

${\displaystyle \varnothing \in K\colon \mu ^{*}(\varnothing )\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu (\varnothing )=0\Rightarrow \mu ^{*}(\varnothing )=0}$.

Перевіримо другий пункт означення. Нехай ${\displaystyle A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$. Якщо існує така множина ${\displaystyle A_{n}}$ з покриття, що ${\displaystyle \mu ^{*}(A_{n})=+\infty }$, то нерівність справджується. Нехай далі всі множини з покриття такі, що ${\displaystyle \mu ^{*}(A_{n})<+\infty ,\,\forall n\geqslant 1}$. Візьмемо довільне ${\displaystyle \varepsilon >0}$, за означенням точної нижньої межі

${\displaystyle \forall n\geqslant 1\,\exists B_{n_{k}}\in K,k\geqslant 1,\,A_{n}\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}\colon \mu ^{*}(A_{n})>\sum _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}-{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}}$.

Тоді

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}\supseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\supseteq A}$.

Оскільки ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}}$ є зліченним об'єднанням елементів кільця ${\displaystyle K}$, то

${\displaystyle \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k}})<\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\mu ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}{\bigr )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})+\varepsilon ,\varepsilon \longrightarrow 0+}$. ${\displaystyle \vartriangleleft }$

Властивості зовнішньої міри ${\displaystyle \mu ^{*}}$:

• ${\displaystyle \forall n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})}$.

${\displaystyle \vartriangleright }$ Дійсно,

${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})+\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(\varnothing )+\cdots =\sum _{k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})}$. ${\displaystyle \vartriangleleft }$

• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(B)}$ (монотонність).

${\displaystyle \vartriangleright }$ Випливає з попередньої властивості при ${\displaystyle n=1}$. ${\displaystyle \vartriangleleft }$

Нехай ${\displaystyle \mu ^{*}}$ — деяка зовнішня міра визначена на підмножинах множини ${\displaystyle X}$. Тоді множини ${\displaystyle E\subset X}$, такі що для всіх ${\displaystyle A\subset X}$ виконується рівність:

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap E^{'}).}$

називаються ${\displaystyle \mu ^{*}}$ - вимірними. ${\displaystyle \mu ^{*}}$ - вимірні множини утворюють σ-кільце, а функція ${\displaystyle \mu ^{*}}$ визначена на елементах цього σ-кільця є мірою, що називається мірою породженою ${\displaystyle \mu ^{*}}$. Якщо зовнішня міра ${\displaystyle \mu ^{*}}$ породжена деякою мірою ${\displaystyle \mu }$ визначеною на кільці ${\displaystyle K}$ то ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ буде продовженням міри ${\displaystyle \mu }$ (де ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ визначена вище міра породжена ${\displaystyle \mu ^{*}}$).

Якщо визначити ${\displaystyle {\overline {\mu }}^{*}}$ деяка зовнішня міра породжена мірою ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ то ${\displaystyle \mu ^{*}={\overline {\mu }}^{*}}$ тоді й лише тоді коли сама зовнішня міра ${\displaystyle \mu ^{*}}$ є породжена деякою мірою ${\displaystyle \mu }$^[1].

• Теорема Каратеодорі про продовження міри

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
• Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953