Також криву можна означити наступним чином (Барроу):
На полярній осі відкладаємо відрізок і в точці проводимо перпендикуляр до цієї осі. Із полюса проводимо довільний промінь, що перетинає цей перпендикуляр в точці . На променю відкладаємо відрізок; геометричне місце точок при обертанні променя навколо полюса є каппою.[3]:стор.141
Також криву можна означити наступним чином:
Проводимо коло з центром в початку координат і радіусом . Проводимо довільний радіус та перпендикулярно до нього промінь. Паралельно до полярної осі проводимо пряму до її перетину з променем в точці . Геометричне місце точок є каппою.[3]:стор.141
Крива вперше вивчалася математиком Джерардом ван Ґутшовеном в 1662р. Пізніше її досліджували Ісаак Ньютон та Йоганн Бернуллі.
Квадратуру каппи вперше здійснив Ґюйґенс, довівши що площа области, яка обмежена віссю ординат (віссю ), гілкою каппи та її асимптотою дорівнює половині площі твірного круга: [3]:стор.142
Кривина кривої в точці, що відповідає полярному куту :[1]
Кут нахилу дотичної в точці, що відповідає полярному куту :[1]
Властивості та особливості форми
Каппа є алгебричноюраціональною кривою 4-го порядку, роду 0.[4] Каппа є необмеженою зв'язною центральносиметричною кривою з однією особливою точкою (вироджений вузол) в початку координат. Точка — точка самоперетину. Пряма — дотична у вузловій точці. Має дві взаємноперпендикулярні осі симетрії (осі координат). Має дві горизонтальні асимптоти.[5]:стор.91
Каппа належить до сімейства кривих, що мають рівняння в полярній системі координат. Ці криві мають назву «вузли» (англ.nodal curve[7]). Всі криві цього сімейства мають в початку координат вузлову точку, та асимптоти, які паралельні до координатних осей. До цього сімейства, зокрема, належить також строфоїда, та крива «вітровий млин» .[2]:стор.302 ; Особливістю цих кривих є те, що застосовуючи до вузла інверсію відносно початку координат, отримаємо також вузол , що конгруентний даному, але повернутий на π/2радіан.[3]:стор.142
Дотичні через нескінченно малі
Дотичні до кривої «каппа» можна також визначити геометрично, використовуючи диференціали та елементарні правила арифметики нескінченно малих. Нехай x і y — змінні, а — деяка стала. З означення каппи маємо:
Тепер, нескінченно мала зміна положення точки повинна також змінити значення лівої частини, так що
Якщо використовувати сучасне поняття функціональної залежності y(x) і провести диференціювання неявно заданої функції, то нахил дотичної до кривої в точці (x,y):