Квадратичне поле

Квадратичне поле — розширення степеня 2 поля раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Будь-яке квадратичне поле має вигляд ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$, де ${\displaystyle d\in \mathbb {Q} ,\;{\sqrt {d}}\notin \mathbb {Q} }$, тобто одержується приєднанням до поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ елемента ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$.

${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d_{1}}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {d_{2}}}]\iff d_{1}=c^{2}d_{2}}$, де ${\displaystyle c\in \mathbb {Q} }$. Тому будь-яке квадратичне поле має вид ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$, де d — ціле раціональне число вільне від квадратів, що однозначно визначається цим полем. Надалі d вважається саме таким.

При d > 0 поле ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$ називається дійсним квадратичним полем, а при d < 0 — уявним полем. Як фундаментальний базис поля ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$ тобто базис кільця цілих чисел поля ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$ над кільцем цілих раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, можна взяти

${\displaystyle \left\{1,{\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}\ \right\}}$ при ${\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4}}}$;

${\displaystyle \left\{1,{\sqrt {d}}\right\}}$ при ${\displaystyle d\equiv 2,3{\pmod {4}}}$.

Дискримінант D поля ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$ рівний відповідно d при ${\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4}}}$ і 4d при ${\displaystyle d\equiv 2,3{\pmod {4}}}$.

Уявні квадратичні поля — єдиний тип полів (окрім ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) із скінченною групою одиниць (тобто групою оборотних елементів кільця цілих чисел поля). Ця група має:

• порядок 4 для ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-1}}]}$ і твірну ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$,
• порядок 6 для ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]}$ і твірну ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)}$,
• порядок 2 і твірну (-1) для всіх інших уявних квадратичних полів.

Для дійсних квадратичних полів група одиниць ізоморфна прямому добутку ${\displaystyle \ \{\pm 1\}\times \{\epsilon \},}$ де ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ — група порядку 2, породжена числом -1, і ${\displaystyle \{\epsilon \}}$ — нескінченна циклічна група, породжена основною одиницею ${\displaystyle \epsilon }$. Наприклад, для поля ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}],~\epsilon =1+{\sqrt {2}}.}$

Закон розкладу простих ідеалів в квадратичному полі допускає просте формулювання: полю ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}$ можна зіставити символ Кронекера — Якобі. Якщо р — просте число і (D, p) = 1, то ідеал ${\displaystyle (p)=pO_{\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}}$ простий в ${\displaystyle O_{\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]}}$ при ${\displaystyle \left({\frac {D}{p}}\right)=-1}$, і розпадається в добуток двох простих ідеалів при ${\displaystyle \left({\frac {D}{p}}\right)=1}$. Якщо D ділиться на р, то (p) є квадратом деякого простого ідеала.

Група класів ідеалів квадратичного поля вивчена краще, ніж для інших класів полів. У разі уявних квадратичних полів теорема Бруера — 3ігеля показує, що число класів ідеалів прямує до нескінченності при ${\displaystyle d\to \infty }$. Є рівно 9 однокласних уявних квадратичних полів, а саме при d = - 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163 (див. дискримінанти Гауса). Для дійсних квадратичних полів невідомо чи є скінченною множина однокласних полів.

Існує нескінченно багато квадратичних полів (як уявних, так і дійсних), число класів яких ділиться на дане натуральне число.

• Гаусові числа

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
• Боревич 3. И. Шафаревич. И. Р. Теория чисел. — М., 1985.
• Вейль А. Основы теории чисел = Basic number theory. — Москва : Мир, 1972. — 408 с.(рос.)
• Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. — М.:Л., 1940.
• Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)