Когомологічна розмірність

В абстрактній алгебрі когомологічна розмірність є інваріантом групи, який вимірює гомологічну складність її представлень. Вона має важливі застосування в геометричній теорії груп, топології та алгебраїчній теорії чисел .

Групова когомологічна розмірність

Як і більшість когомологічних інваріантів, когомологічна розмірність включає вибір «кільця коефіцієнтів» R, де зазвичай в якості кільця розглядається кільце цілих чисел $\mathbb {Z}$ . Нехай G — дискретна група, R — ненульове кільце з одиницею, і $RG$ — групове кільце . Група G має когомологічну розмірність, не більшу за n, що позначається як $\operatorname {cd} _{R}(G)\leq n$ , якщо тривіальний $RG$ -модуль R має проективну резольвенту довжини n, тобто існують проєктивні $RG$ -модулі $P_{0},\dots ,P_{n}$ і гомоморфізми $RG$ -модулів $d_{k}\colon P_{k}\to P_{k-1}(k=1,\dots ,n)$ і $d_{0}\colon P_{0}\to R$ , такі що образ $d_{k}$ збігається з ядром $d_{k-1}$ для $k=1,\dots ,n$ і ядро $d_{n}$ є тривіальним.

Еквівалентно, когомологічна розмірність є не більшою за n, якщо для довільного $RG$ -модуля M, когомології групи G з коефіцієнтами в M дорівнюють нулю для степенів $k>n$ , тобто $H^{k}(G,M)=0$ за умови $k>n$ . p -когомологічна розмірність для простого числа p аналогічно визначається через p -кручення груп $H^{k}(G,M){p}$ .

Найменше n, для якого когомологічна розмірність G не перевищує n, є когомологічною розмірністю G (з коефіцієнтами R ), яка позначається $n=\operatorname {cd} _{R}(G)$ .

Вільна резольвента для $\mathbb {Z}$ може бути отримана з вільної дії групи G на стягуваному топологічному просторі X . Зокрема, якщо X є стягуваним CW-комплексом розмірності n з вільною дією дискретної групи G, яка переставляє клітини, то $\operatorname {cd} _{\mathbb {Z} }(G)\leq n$ .

Приклади

У першій групі прикладів кільце коефіцієнтів R є $\mathbb {Z}$ .

Вільна група має когомологічну розмірність один. Як показали Джон Столлінгс (для скінченно породжених груп) і Річард Свон (у загальному випадку), ця властивість характеризує вільні групи. Цей результат відомий як теорема Столлінгса–Свона. ^[1] Теорема Столлінгса-Свона для групи G стверджує, що G є вільною тоді і тільки тоді, коли кожне розширення G з абелевим ядром розщеплюється. ^[2]
Фундаментальна група компактної, зв’язної, орієнтованої ріманової поверхні, відмінної від сфери, має когомологічну розмірність два.
Більш загально, фундаментальна група замкненого, зв’язного, орієнтованого асферичного многовиду розмірності n має когомологічну розмірність n . Зокрема, фундаментальна група замкненого орієнтованого гіперболічного n -многовиду має когомологічну розмірність n .
Нетривіальні скінченні групи мають нескінченну когомологічну розмірність над $\mathbb {Z}$ . Більш загально, те ж саме справедливо для груп з нетривіальним крученням .

Тепер розглянемо випадок кільця R .

Група G має когомологічну розмірність 0 тоді і тільки тоді, коли її групове кільце $RG$ є напівпростим . Таким чином, скінченна група має когомологічну розмірність 0 тоді і тільки тоді, коли її порядок (або, еквівалентно, порядки її елементів) є оборотним в R .
Узагальнюючи теорему Столлінгса–Свона для $R=\mathbb {Z}$ , Мартін Данвуді довів, що група має когомологічну розмірність не більше одиниці над довільним кільцем R тоді і тільки тоді, коли вона є фундаментальною групою зв’язного графа скінченних груп, порядки яких є оборотними в R .

Когомологічна розмірність поля

p -когомологічна розмірність поля K є p -когомологічною розмірністю групи Галуа сепарабельного замикання K . Когомологічна розмірність K є супремумом p -когомологічної розмірності для всіх простих чисел p .

Приклади

Кожне поле ненульової характеристики p має p -когомологічну розмірність не більше 1.
Кожне скінченне поле має абсолютну групу Галуа, ізоморфну ${\hat {\mathbb {Z} }}$ і тому має когомологічну розмірність 1.
Поле формальних рядів Лорана $k((t))$ над алгебрично замкненим полем k характеристики нуль також має абсолютну групу Галуа, ізоморфну ${\hat {\mathbb {Z} }}$ і, таким чином, має когомологічну розмірність 1. ^[3]