Конформна геометрія

В математиці, конформна геометрія — це її розділ, що вивчає такі перетворення простору, що зберігають значення кутів у зображенні цього простору (конформні перетворення).

В дійсному двомірному просторі конформна геометрія описує саме геометрію Ріманових поверхонь. У просторах вищих розмірностей, конформною геометрією називають або конформні перетворення того, що називають плоскими просторами (такі як простори Евкліда або ж сфери), або вивчення конформних многовидів які є Рімановими або псевдо-Рімановими многовидами з метриками означеними з точністю до масштабу. Вивчення плоских структур деколи називають геометрією Мьобіуса, це різновид геометрії Кляйна.

Конформні многовиди

Конформний многовид — це диференційовний многовид споряджений класом еквівалентності псевдо-Ріманових метричних тензорів, у якому дві метрики g і h є еквівалентними тоді і лише тоді, коли

h=\lambda ^{2}g,

де λ це дійсно-значна гладка функція визначена на многовиді. Клас еквівалентності таких метрик називається конформною метрикою або ж конформним класом. Таким чином, конформна метрика, визначається лише "з точністю до масштабу" (масштабуючого множника). Часто конформні метрики описуються як метрика обрана в конформну класі, до якої застосовують лише "конформно-інваріантні" конструкції.

Якщо для певної конформної метрики існує так метрика, яка репрезентує її плоскою, то така метрика називається конформно плоскою метрикою.

Застосування

Результати конформної геометрії використовуються в конформній теорії поля та конформній гравітації.

Джерела

Kobayashi, Shoshichi (1970). Transformation Groups in Differential Geometry (вид. First). Springer. ISBN 3-540-05848-6.
Slovák, Jan (1993). Invariant Operators on Conformal Manifolds. Research Lecture Notes, University of Vienna (Dissertation). Архів оригіналу за 1 жовтня 2016. Процитовано 17 вересня 2017.
Sternberg, Shlomo (1983). Lectures on differential geometry. New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0316-3.