Народився в селянській родині в селі Караковичі (тоді Єльнинський повіт, Смоленська обл., Російська імперія. Родичі Коньонкових були кріпаками. Чисельна родина роками заробляла гроші й до реформи 1861 р. і скасування кріпацтва викупила волю. Тоді ж за сільським прізвиськом (працюють як коні, Конята) отримали прізвище — Коньонкови. Здібний Сергій, один з небагатьох, якому родина спромоглася дати первісну освіту. Закінчив гімназію в місті Рославль, знав латину.
Навчання в Москві і Петербурзі
1892–1899 — навчання в Московському училищі живопису, скульптури і архітектури (майстерня С. Іванова, С. Волнухіна).Закінчив повний курс навчання і отримав звання позакласного художника.
Отримав право на закордонну подорож на кошти відсотків з премії імені Сергія Михайловича Третьякова, брата засновника художньої галереї — Третьякова Павла Михайловича. Відвідав Німеччину, Францію, Італію.
1899–1902 рр. — завершив художнє навчання в Петербурзькій імператорській академії (майстерня скульптора Беклемішева В. О.)
1902 р. — отримав звання скульптора за скульптуру «Самсон розриває ланцюги».
1916 р. — перша персональна виставка скульптур в Москві.
1918 р. — Участь у ленінському Плані монументальної пропаганди, відкриття меморіальної дошки «Загиблим у боротьбі за мир і братерство народів», Сенатська вежа Кремля, Москва.
1918–1922 — викладач в студії Пролеткульту та у ВХУТЕМАСі.
1919 р. — відкриття монументу Степану Разіну в Москві.
1923 р. — виконав декоративні скульптури («Робочий», «Селянин», «Текстильщиця» та ін.) для оздоб приміщень Всеросійської сільськогосподарської та кустарно-промислової виставки у Москві.
1924 р. — відбув у відрядження у США як учасник виставки російського мистецтва. Персональна виставка у місті Нью-йорк. Розпочався етап закордонного життя скульптора (1925–1945), мешкав переважно у США.
1953–1954 рр. — архітектор Бродський Савва Григорович запросив скульптора на роботи по оздобленню музично-драматичного театру в місті Петрозаводськ(проект -Бродського С. Г.)
1954 р. — персональні виставки у Москві і Ленінграді з нагоди 80-річчя скульптора.
28 лютого -7 березня 1957 р. — участь в створенні і роботі 1-го Всерадянського з'їзду радянських художників. Коньонков запропонував щорічні урочистості з нагоди підписання Леніним Плану монументальної попаганди (робились у вигляді Тижня образотворчих мистецтв у квітні).
Скульптор практично не займався медальєрним мистецтвом. Але саме йому доручили створення радянської медалі — премії імені М. В. Ломоносова, закінчив у 1960 р.
1965 р. — урочистості з нагоди 90-річчя скульптора.
1967 р. — участь у виставках з нагоди 50-річчя радянської влади.
1970 р. -участь у виставках з нагоди 100-річчя з дня народження Леніна.
1971 р.- смерть в Москві. Поховання відбулося на Новодівочому цвинтарі в Москві.
Книги спогадів
Конёнков С. Т. " Земля и люди " (1968)
Конёнков С. Т. " Мой век " (1971)
Музей-майстерня скульптора
У 1974 р. з нагоди 100-річчя з дня народження скульптора збережена майстерня митця в Москві на Тверському бульварі перетворена на музей. До музейного закладу увійшли -
частка готових скульптур в дереві, мармурі, тонованому гіпсі.
Серед експонатів музею-майстерні — «Автопортрет» скульптора, погруддя дружини, «Самсон, що розриває ланцюги», голова, ескіз до скульптури «Самсон», «Паганіні багаторукий», проект монументу письменнику Л. М. Толстому, композиція «Космос» та ін. Експозиції доповнені меморіальними речами і документами доби.