Крива зростання (статистика)

Моде́ль криво́ї зроста́ння (англ. growth curve model) в статистиці — це особлива багатовимірна лінійна модель, відома також як GMANOVA (англ. Generalized Multivariate Analysis-Of-Variance, узагальнений багатовимірний дисперсійний аналіз).^[1] Вона узагальнює модель MANOVA(інші мови) (багатовимірний дисперсійний аналіз), дозволяючи використання пост-матриць, як видно з визначення.

Визначення

Модель кривої зростання:^[2] Нехай X — випадкова матриця p×n, що відповідає спостереженням, A — внутрішня матриця плану(інші мови) (англ. within design matrix) p×q, де q ≤ p, B — матриця параметрів q×k, C — міжособова матриця плану (англ. between individual design matrix) k×n рангу rank(C) + p ≤ n, і нехай Σ — додатноозначена матриця p×p. Тоді

X=ABC+\Sigma ^{1/2}E

визначає модель кривої зростання, де A та C відомі, B та Σ невідомі, а E — випадкова матриця з розподілом N_p,n(0,I_p,_n).

Це відрізняється від стандартного багатовимірного дисперсійний аналізу(інші мови) додаванням «постматриці» (англ. "postmatrix") C.^[3]

Історія

Аналізом кривих зростання займалися численні автори, серед них Вішарт (1938),^[4] Бокс (1950)^[5] та Рао (1958).^[6] Першими моделі GMANOVA для аналізу поздовжніх даних(інші мови) застосували 1964 року Потгофф і Рой^[3].

Застосування

Узагальнений багатовимірний дисперсійний аналіз (GMANOVA) часто використовують для аналізу опитувань, клінічних випробувань та сільськогосподарських даних,^[7] а останнім часом також у контексті адаптивного радіолокаційного виявляння.^[8]^[9]

Інші застосування

У математичній статистиці криві зростання, як у біології(інші мови), часто моделюють як неперервні(інші мови) стохастичні процеси, наприклад, як реалізації(інші мови), що майже напевно розв'язують стохастичні диференціальні рівняння.^[10] Крім того, криві зростання застосовують для прогнозування розвитку ринку.^[11] Коли змінні вимірюють із похибкою, можливо застосовувати моделювання латентного зростання у рамках МСР(інші мови).

Примітки

↑ Kim, Kevin; Timm, Neil (2007). "Restricted MGLM and growth curve model" (Chapter 7). Univariate and multivariate general linear models: Theory and applications with SAS (with 1 CD-ROM for Windows and UNIX). Statistics: Textbooks and Monographs (англ.) (вид. Second). Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-634-1.
↑ Kollo, Tõnu; von Rosen, Dietrich (2005). "Multivariate linear models" (розділ 4), особливо "The Growth curve model and extensions" (розділ 4.1). Advanced multivariate statistics with matrices. Mathematics and its applications (англ.). Т. 579. Dordrecht: Springer. ISBN 978-1-4020-3418-3.
↑ ^а ^б Potthoff, R.F.; Roy, S.N. (1964). A generalized multivariate analysis of variance model useful especially for growth curve problems (PDF). Biometrika (англ.). 51: 313—326.
↑ Wishart, John (1938). Growth rate determinations in nutrition studies with the bacon pig, and their analysis. Biometrika (англ.). 30 (1–2): 16—28. doi:10.1093/biomet/30.1-2.16.
↑ Box, G.E.P. (1950). Problems in the analysis of growth and wear curves. Biometrics (англ.). 6 (4): 362—89. doi:10.2307/3001781. JSTOR 3001781. PMID 14791573.
↑ Radhakrishna, Rao (1958). Some statistical methods for comparison of growth curves. Biometrics (англ.). 14 (1): 1—17. doi:10.2307/2527726. JSTOR 2527726.
↑ Pan, Jian-Xin; Fang, Kai-Tai (2002). Growth curve models and statistical diagnostics. Springer Series in Statistics (англ.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95053-2.
↑ Ciuonzo, D.; De Maio, A.; Orlando, D. (2016). A Unifying Framework for Adaptive Radar Detection in Homogeneous plus Structured Interference-Part I: On the Maximal Invariant Statistic. IEEE Transactions on Signal Processing (англ.). PP (99): 2894—2906. arXiv:1507.05263. Bibcode:2016ITSP...64.2894C. doi:10.1109/TSP.2016.2519003. S2CID 5473094.
↑ Ciuonzo, D.; De Maio, A.; Orlando, D. (2016). A Unifying Framework for Adaptive Radar Detection in Homogeneous plus Structured Interference-Part II: Detectors Design. IEEE Transactions on Signal Processing (англ.). PP (99): 2907—2919. arXiv:1507.05266. Bibcode:2016ITSP...64.2907C. doi:10.1109/TSP.2016.2519005. S2CID 12069007.
↑ Seber, G. A. F.; Wild, C. J. (1989). "Growth models (Chapter 7)". Nonlinear regression. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Probability and Mathematical Statistics (англ.). New York: John Wiley & Sons, Inc. с. 325—367. ISBN 0-471-61760-1.
↑ Meade, Nigel (1984). The use of growth curves in forecasting market development—a review and appraisal. Journal of Forecasting (англ.). 3 (4): 429—451. doi:10.1002/for.3980030406.

Джерела

Davidian, Marie; David M. Giltinan (1995). Nonlinear Models for Repeated Measurement Data. Chapman & Hall/CRC Monographs on Statistics & Applied Probability (англ.). ISBN 978-0-412-98341-2.
Kshirsagar, Anant M.; Smith, William Boyce (1995). Growth curves. Statistics: Textbooks and Monographs (англ.). Т. 145. New York: Marcel Dekker, Inc. ISBN 0-8247-9341-2.
Pan, Jianxin; Fang, Kaitai (2007). Growth curve models and statistical diagnostics. Mathematical Monograph Series (англ.). Т. 8. Beijing: Science Press. ISBN 9780387950532.
Timm, Neil H. (2002). "The general MANOVA model (GMANOVA)" (розділ 3.6.d). Applied multivariate analysis. Springer Texts in Statistics (англ.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95347-7.
Vonesh, Edward F.; Chinchilli, Vernon G. (1997). Linear and Nonlinear Models for the Analysis of Repeated Measurements (англ.). London: Chapman and Hall.