Критерій Куранта — Фрідріхса — Леві

Умова Куранта-Фрідріхса-Леві (КФЛ) - це необхідна умова для збіжності при чисельному розв'язуванні певних диференціальних рівнянь з частковими похідними (зазвичай гіперболічні РЧП) методом скінченних різниць. ^[1] Вона виникає при чисельному аналізі схем інтеграції явно часу, коли вони використовуються для чисельного рішення. Як наслідок, в багатьох комп'ютерних моделюваннях, часовий крок повинен бути меншим, за певне значення, в іншому разі результати будуть неправильними. Умову названо в честь Річарда Куранта, Курта Фрідріха, і Ханса Льюї, які описали його в своїй статті 1928 р .. ^[2]

Принципом умови є те, що, наприклад, якщо хвиля рухається по дискретній просторовій сітці, і ми хочемо, обчислити її амплітуду в різних часових проміжках однакової тривалості, ^[3] то ця тривалість повинна бути менше, ніж час за який хвиля переходить в сусідні точки сітки. Як наслідок, коли відстань між точкою сітки зменшується, верхня межа для часового кроку також зменшується. По суті, чисельна область залежно від будь-якої точки в просторі і часі (як визначено початковими умовами і параметрами схеми апроксимації) повинні включати в себе аналітичну область залежності (в якій вихідні умови впливають на точне значенням розв'язку в цій точці), з тим, щоб гарантувати, що ця схема може отримати доступ до інформації, необхідної для утворення розв'язку.

Для того, щоб зробити досить формально точне формулювання умови, необхідно визначити наступні величини

• Просторова координата: це одна з координат з фізичного простору, в якому ставиться задача.
• Просторовий аспект проблеми: це число ${\displaystyle n}$ просторових вимірів, тобто кількість просторової координати фізичного простору, де ставиться завдання. Типові значення ${\displaystyle n=1}$ , ${\displaystyle n=2}$ і ${\displaystyle n=3}$ .
• Час: це координата, що діє як параметр, який описує еволюцію системи, відмінної від просторових координат.

Просторові координати і час повинні бути дискретно незалежними змінними, які розміщені на однаковій відстані називаються довжиною інтервалу ^[4] і часовим кроком відповідно. Використовуючи ці означення, умова КФЛ це відношення довжини тимчасового кроку до функції довжин інтервалів кожної просторової координати і максимальної швидкості, з якою інформація може переміщатися в фізичному просторі.

Для одновимірного випадку, умова КФЛ має наступний вигляд:

${\displaystyle C={\frac {u\,\Delta t}{\Delta x}}\leq C_{\max }}$

де безрозмірне число називається число Куранти,

• ${\displaystyle u}$ - швидкість переносу (довжина / час)
• ${\displaystyle \Delta t}$ - часовий крок (час)
• ${\displaystyle \Delta x}$ - інтервал довжини (довжина).

Значення ${\displaystyle C_{\max }}$ змінюється за допомогою методу, використовуваного для вирішення рівняння дискретизації, особливо в залежності від того, є метод явним чи неявним. Якщо явний, в розв'язуванні зазвичай використовується ${\displaystyle C_{\max }=1}$. Неявні методи, як правило менш чутливі до чисельної нестабільності, тому великих значень ${\displaystyle C_{\max }}$ має бути достатньо.

У двовимірному випадку умова КФЛ має вигляд

${\displaystyle C={\frac {u_{x}\,\Delta t}{\Delta x}}+{\frac {u_{y}\,\Delta t}{\Delta y}}\leq C_{\max }}$

Значення змінних очевидні. За аналогією з двовимірним випадком, загальний вигляд КФЛ для ${\displaystyle n}$ - мірного випадку є наступним:

${\displaystyle C=\Delta t\sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{x_{i}}}{\Delta x_{i}}}\leq C_{\max }.}$

Довжина інтервалу не потрібна, бо вона однакова для кожної просторової змінної ${\displaystyle \Delta x_{i},i=1,\ldots ,n}$. Ці «ступені вільності» можна використати для того, щоб оптимізувати величину кроку по часу для конкретного завдання, шляхом зміни значень інтервалу для того, щоб він був не надто малим.

Умова КФЛ є необхідною, але не достатньою, для збіжності різницевої апроксимації даної чисельної задачі. Таким чином, для того, щоб встановити збіжність кінцево-різницевої апроксимації, необхідно використовувати інші методи, які, в свою чергу, можуть давати додаткові обмеження на довжину кроку за часом і / або на довжини просторових інтервалів.

• 3.
• Courant, R.; Friedrichs, K.; Lewy, H. (September 1956) [1928], On the partial difference equations of mathematical physics, AEC Research and Development Report, т. NYO-7689, New York: AEC Computing and Applied Mathematics Centre – Courant Institute of Mathematical Sciences, с. V + 76, архів оригіналу за 23 жовтня 2008 :. Переклад з німецької Філліс Фокс. Це більш рання версія статті Courant, Friedrichs та Lewy, 1967, який був поширений як дослідницький звіт.
• 3. Вільно завантажувана копія може бути знайдена тут [Архівовано 20 жовтня 2012 у Wayback Machine.] .
• http://ami.lnu.edu.ua/wp-content/uploads/2013/10/Pi-120P.pdf [Архівовано 23 січня 2022 у Wayback Machine.]

• Bakhvalov, N. S. (2001), condition Courant–Friedrichs–Lewy condition, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Courant-Friedrichs-Lewy Condition(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.