Ланцюг (алгебрична топологія)

Ланцюг в алгебричній топології і диференціальній геометрії — конструкція, що узагальнює поняття багатокутника, використовується для визначення гомологій простору і інтегрування диференціальних форм на ньому.

Криволінійним симплексом називається двічі неперервно диференційовне невироджене відображення симплекса ${\displaystyle \gamma =[p_{0},\ldots ,p_{n}]}$ в евклідовому просторі в топологічний простір ${\displaystyle M}$.

Ланцюгом називається елемент вільного модуля над кільцем цілих чисел, породженого множиною симплексів даного топологічного простору, тобто формальна сума

${\displaystyle \sigma =k_{1}\sigma _{1}+\dots +k_{n}\sigma _{n},~k_{i}\in \mathbb {Z} ,\,n\in \mathbb {N} }$

Число ${\displaystyle k_{i}}$ називається кратністю симплекса ${\displaystyle \sigma _{i}}$. Сума ланцюгів визначається як сума елементів модуля.

Межа ${\displaystyle \partial \sigma _{i}}$ криволінійного симплекса ${\displaystyle \sigma _{i}}$ означається як образ межі симплекса ${\displaystyle \gamma _{i}}$ під дією відображення ${\displaystyle \sigma _{i}}$. На довільні ланцюги межовий оператор продовжується за лінійностю, тобто

${\displaystyle \partial \sigma =k_{1}\partial \sigma _{1}+\dots +k_{n}\partial \sigma _{n}}$

• Цикл — це ланцюг, межа якого дорівнює нулю.

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 прим. — ISBN 5-354-00341-5.