Логарифмічна похідна

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (липень 2013)

В математиці, особливо в математичному і комплексному аналізі логарифмічна похідна функції f визначається формулою

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\!}$,

де f ′ похідна функції f.

Коли f функція f(x) від дійсної змінної x, і приймає дійсні, строго додатні значення, логарифмічна похідна дорівнює похідній від ln(f); або, похідній натурального логарифма f. Це випливає з ланцюгового правила.

Багато властивостей дійсного логарифма також присутні і у логарифмічної похідної, навіть тоді коли функція приймає не тільки додатні дійсні значення. Наприклад, тому що логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів множників

${\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.\!}$

Таким чином для додатно-дійсних функцій, логарифмічна похідна добутку - це сума логарифмічних похідних множників. Також можна використати тотожність Лейбніца для знаходження похідної добутку:

${\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.\!}$

Таким чином, для будь-яких функцій логарифмічна похідна добутку - це сума логарифмічних похідних множників (де вони визначені).

Аналогічно, (в дійсності це наслідок), логарифмічна похідна оберненої функції є логарифмічна похідна первісної функції помножена на ${\displaystyle -1}$:

${\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},\!}$

як і у випадку із логарифмом оберненого додатного числа.

Логарифмічна похідна ділення - це різниця логарифмічних похідних діленого і дільника:

${\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},\!}$

як і логарифм дробу дорівнює різниці діленого і дільника.

Логарифмічна похідна степеня (з константним дійсним показником) є добутком показника і логарифмічної похідної основи:

${\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},\!}$

як і логарифм степеня є добутком показника і логарифма основи.