Лінійне наближення

У математиці лінійним наближенням, або лінійною апроксимацією, називають наближення похідної функції за допомогою лінійної функції (точніше, афінної функції). Такі наближення широко використовуються в методі скінченних різниць для отримання методів першого порядку для розв'язування рівнянь або побудови їх наближених розв'язків.

Розглянемо двічі неперервно-диференційовану функцію дійсного числа ${\displaystyle f(x)}$ в околі точки ${\displaystyle a}$. За теоремою Тейлора, має місце рівність

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(x)(x-a)+R_{2},}$

де ${\displaystyle R_{2}(x)=o(|x-a|)}$ — залишковий член.

Якщо відкинути залишковий член ${\displaystyle R_{2}(x)}$, то отримаємо лінійне наближення ${\displaystyle g(x)}$:

${\displaystyle g(x)=f(a)+f'(a)(x-a).}$

При такому наближенні ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle a}$, крива починає нагадувати пряму лінію. Таким чином, функція ${\displaystyle g(x)}$ є просто рівнянням дотичної до графіка функції ${\displaystyle f(x)}$ у точці ${\displaystyle (a,f(a))}$. З цієї причини цей процес також називають апроксимацією функції її дотичною.

Лінійні наближення додатково покращуються, коли значення другої похідної ${\displaystyle f''(x)}$ в точці ${\displaystyle a}$ близьке до нуля, тобто в точці перегину або поблизу неї.

В околі точки ${\displaystyle a}$ значення ${\displaystyle g(x)}$ близькі до значень ${\displaystyle f(x)}$, тож її можна використовувати як заміну в наближених обчисленнях. Проте в загальному випадку похибка зростає при віддаленні від ${\displaystyle a}$ і дорівнює ${\displaystyle R_{2}}$.

Якщо ${\displaystyle f(x)}$ опукла на інтервалі ${\displaystyle (x,a)}$, то значення ${\displaystyle g(x)}$ буде більше реального значення функції, оскільки похідна зменшується в цьому інтервалі. Якщо ${\displaystyle f(x)}$ увігнута, то значення ${\displaystyle g(x)}$ навпаки буде менше за реальне значення функції.^[1]

Лінійні наближення для вектор-функцій векторної змінної отримують так само, тільки похідну в точці замінюють на матрицю Якобі.Наприклад, неперервно-диференційовану функцію ${\displaystyle f(x,y)}$ дійсних змінних ${\displaystyle (x,y)}$ в точці близькій до ${\displaystyle (a,b)}$ можна наблизити за формулою

${\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+{\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)(x-a)+{\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)(y-b).}$

Права частина цієї формули є дотичною площиною до графіку функції ${\displaystyle z=f(x,y)}$ у точці ${\displaystyle (a,b)}$.

У загальному випадку для банахових просторів маємо

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a),}$

де ${\displaystyle Df(a)}$ — значення похідної Фреше від функції ${\displaystyle f(x)}$ в точці ${\displaystyle a}$.

Гауссова оптика — це метод у геометричній оптиці, який описує поведінку світлових променів в оптичних системах за допомогою параксіального наближення, у межах якого розглядаються лише промені, що утворюють малі кути з оптичною віссю системи.^[2] У цьому наближенні тригонометричні функції можна апроксимувати лінійними функціями кутів. Оптика Гауса застосовується до систем, у яких усі оптичні поверхні є або плоскими, або частинами сфери. У цьому випадку можна записати прості явні формули для параметрів оптичної системи, таких як фокусна відстань, збільшення та яскравість, у термінах геометричних форм і матеріальних властивостей елементів оптичної системи.

Період коливань простого маятника залежить від його довжини, місцевої сили тяжіння та, незначною мірою, від максимального кута відхилення маятника від вертикалі ${\displaystyle \theta }$, який називається амплітудою.^[3] Період коливань не залежить від маси вантажу. Період ${\displaystyle T}$ простого маятника — це час, необхідний для повного циклу коливання простого гравітаційного маятника, — можна записати у кількох різних формах, однією з яких є нескінченний ряд ^[4][5]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right),}$

де ${\displaystyle L}$ довжина маятника і ${\displaystyle g}$ — локальне прискорення вільного падіння.

Проте, якщо амплітуда обмежена невеликими коливаннями,^{[Note 1]} можна застосувати лінійне наближення^[6]

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}},\quad \theta \ll 1.}$

У лінійному наближенні період коливання є приблизно однаковим для коливань різного розміру, тобто період не залежить від амплітуди. Цю властивість називають ізохронізмом.^[7] Вона і є причиною того, що маятники настільки корисні для вимірювання часу: послідовні коливання маятника, навіть якщо амплітуда змінюється, займають однакову кількість часу.

Зазвичай електричний опір матеріалів залежить від температури. Якщо температура ${\displaystyle T}$ не надто висока, нерідко застосовують лінійну апроксимацію

${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0}],}$

де ${\displaystyle \alpha }$ називають температурним коефіцієнтом опору, ${\displaystyle T_{0}}$ — фіксована температура (зазвичай кімнатна температура), ${\displaystyle \rho _{0}}$ — питомий опір при температурі ${\displaystyle T_{0}}$.

Параметр ${\displaystyle \alpha }$ є емпіричним коефіцієнтом, підібраним на основі експериментальних даних. Оскільки лінійне наближення не дає точних результатів, значення ${\displaystyle \alpha }$ відрізняється для різних фіксованих температур. З цієї причини зазвичай вказують температуру, при якій був визначений ${\displaystyle \alpha }$, додаючи індекс, наприклад ${\displaystyle \alpha _{15}}$. Це співвідношення справедливе лише для певного діапазону температур.^[8]

1. ↑ Невеликі коливання ― це коливання з достатньо малим кутом ${\displaystyle \theta }$, щоб апроксимувати ${\displaystyle \sin(\theta )}$ за радіанною мірою ${\displaystyle \theta }$.

1. ↑ 12.1 Estimating a Function Value Using the Linear Approximation. Архів оригіналу за 3 березня 2013. Процитовано 3 червня 2012.
2. ↑ Lipson, A.; Lipson, S. G.; Lipson, H. (2010). Optical Physics (вид. 4th). Cambridge, UK: Cambridge University Press. с. 51. ISBN 978-0-521-49345-1.
3. ↑ Milham, Willis I. (1945). Time and Timekeepers. MacMillan. с. 188—194. OCLC 1744137.
4. ↑ Nelson, Robert; M. G. Olsson (February 1987). The pendulum – Rich physics from a simple system (PDF). American Journal of Physics. 54 (2): 112—121. Bibcode:1986AmJPh..54..112N. doi:10.1119/1.14703. S2CID 121907349. Процитовано 29 жовтня 2008.
5. ↑ Beckett, Edmund; and three more (1911). Clock . У Chisholm, Hugh (ред.). // Encyclopædia Britannica (англ.). Т. 06 (вид. 11-те). Cambridge University Press. с. 534—553, see page 538, second para. Pendulum.— includes a derivation
6. ↑ Halliday, David; Robert Resnick; Jearl Walker (1997). Fundamentals of Physics, 5th Ed. New York: John Wiley & Sons. с. 381. ISBN 0-471-14854-7.
7. ↑ Cooper, Herbert J. (2007). Scientific Instruments. New York: Hutchinson's. с. 162. ISBN 978-1-4067-6879-4.
8. ↑ Ward, M. R. (1971). Electrical Engineering Science. McGraw-Hill. с. 36—40. ISBN 0-07-094255-2.

• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. Calculus III. — Berlin: Springer-Verlag, 1984. — P. 775. — ISBN 0-387-90985-0.
• Strang, Gilbert. Calculus. — Wellesley College, 1991. — P. 94. — ISBN 0-9614088-2-0.
• Bock, David; Hockett, Shirley O. How to Prepare for the AP Calculus. — Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005. — P. 118. — ISBN 0-7641-2382-3.