Математична морфологія

Математична морфологія — (Морфологія від грец. μορφή «форма» и λογία «наука») — наука, яка вивчає методи і алгоритми аналізу і обробки геометричних структур, основана на теорії множин, топології і випадкових функцій. Застосовується при обробці цифрових зображень, але також може бути застосована до графів, полігональної сітки, стереометрії і багатьох інших просторових структур.

Інші визначення:

Математична морфологія (фізика) — методи аналізу сигналу на основі теорії множин, що спрямовані на вивчення відносин між фізичними і структурними властивостями.^[1]

Математична морфологія (теорія обробки сигналів) — нелінійний спосіб обробки сигналів на основі операцій виділення мінімумів і максимумів.^[1]

Морфологічні операції виконуються над двома зображеннями: вхідним зображенням і спеціальним, яке залежить від операції і типу виконуваної задачі. Таке спеціальне зображення в математичній морфології називається структурним елементом або примітивом. Структурний елемент являє собою деяке двійкове зображення (геометричну форму). Він може бути довільного розміру і структури, але за звичай розмір такого зображення має розмір 3x3, 4x4, 5x5 пікселів, тобто значно менше вхідного зображення.^[2] Частіше за все використовуються симетричні елементи, такі як прямокутник фіксованого розміру чи круг заданого діаметра. В кожному елементі виділяють особливу точку, яку називають початковою (origin). Вона може вибиратися в будь-якому місці зображення, але найчастіше це центральний піксель.

Ось декілька елементів, які широко застосовуються на практиці (позначені як B):

• Нехай ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{2}}$; B диск з заданим радіусом r, початковою точкою якого є центр диску.
• Нехай ${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{2}}$; B прямокутник 3x3, який описується в так: B={(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)}.
• Нехай ${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{2}}$; B це "хрест" який задається як: B={(-1,0), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,0)}.

Приклади частовживаних структурних елементів:

Основними операціями математичної морфології є:

• трансляція (перенесення) — зсуває зображення на задану кількість пікселів;
• дилація (розширення) — збільшує область зображення;
• ерозія (звуження) — зменшує область зображення;
• розкриття (спочатку звуження, потім розширення) — вилучає виступи на межах об'єктів;
• закриття (спочатку розширення, потім звуження) — заповнює отвори всередині й на межах.

Перенос множини пікселів A на заданий вектор s визначається як:

${\displaystyle A_{s}=\{a+s|a\in A\}}$, ${\displaystyle \forall s\in E}$.

Перенос можна визначити за допомогою упорядкованої пари чисел (х,у), де x – кількість пікселів зміщення вздовж осі X, а y – рух вздовж осі Y.

Для двох множин A і B з простотру ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ерозія множини A по структурному елементу B визначається як:

${\displaystyle A\ominus B=\{z\in E|B_{z}\subseteq A\}}$,

Інакше кажучи, ерозія множини A по примітиву B, це таке геометричне місце точок для всіх таких позицій точок центру z, при зсуві яких множина B цілком міститься в A.

Дилація множини A по множині B визначається як:

${\displaystyle A\oplus B=\{z\in E|(B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}}$

При цьому дилація множини A по структурному елементу B це множина всіх таких переміщень z, при яких множини A і B збігаються принаймні в одному елементі.

Дилація є комутативною функцією, тобто має місце наступний вираз:

${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}}$.

Розкриття множини A по структурному елементу B позначається як ${\displaystyle A\circ B}$ і визначається виразом:

${\displaystyle A\circ B=(A\ominus B)\oplus B}$.

Таким чином, розкриття множини A про структурному елементу B знаходиться як ерозія A по B, результат котрої піддається дилації по тому ж структурному елементу B. В загальному випадку розкриття згладжує контури об'єкту, усуває вузькі перешийки і ліквідує виступи невеликої ширини.

Закриття множини A по структурному елементу B позначається як ${\displaystyle A\bullet B}$ і отримується шляхом виконання операції дилації множини A по структурному елементу B, за котрою слідує операція ерозії результуючої множини по структурному елементу B. Закриття визначається наступним виразом:

${\displaystyle A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B}$.

В результаті операції закриття відбувається згладження відрізків контурів, але, на відміну від розкриття, в загальному випадку заповнюються невеликі розриви і довгі заглибини малої ширини, а також ліквідуються невеликі отвори і заповнюються проміжки контуру.

• А.О. Подорожняк, Р.М. Гриб, С.В. Домін / Морфологічна обробка цифрових зображень з телескопів / 2013 р.^{[недоступне посилання з липня 2019]}
• habrahabr.ru - Математическая морфология [Архівовано 24 березня 2014 у Wayback Machine.]
• ImageMagick v6 Examples Morphology of Shapes [Архівовано 25 червня 2014 у Wayback Machine.]