Межа Бекенштейна

Межа Бекенштейна — це верхня межа ентропії S, або кількості інформації I, які можуть міститися в заданій обмеженій області простору, що має скінченну кількість енергії; або, з іншого боку, максимальна кількість інформації, необхідна для ідеального опису заданої фізичної системи аж до квантового рівня^[1]. Мається на увазі, що інформація про фізичну систему, або інформація, необхідна для ідеального опису системи, повинна бути скінченною, якщо система займає скінченний простір і має скінченну енергію.

З точки зору інформатики це означає, що існує максимум швидкості обробки інформації (межа Бремерманна) для фізичної системи, яка має скінченні розміри і енергію, і що машина Тюринга з скінченними фізичними розмірами і необмеженої пам'яттю фізично не може бути реалізована.

Бекенштейн показав, що максимум ентропії, пов'язаний з тілом, досягається при перетворенні його в чорну діру.^[2] Іншими словами, при досягненні межі Бекенштейна носій інформації здійснює гравітаційний колапс, перетворюючись в чорну діру.^[3][4]

Універсальне формулювання обмеження було спочатку відкрите Яаковом Бекенштейном як нерівність

${\displaystyle S\leqslant {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},}$

де S — ентропія, k — стала Больцмана, R — радіус сфери, що охоплює цю систему, Е — сумарна маса-енергія, включаючи масу спокою, ħ — приведена стала Планка, а c — швидкість світла. Незважаючи на істотну роль гравітації, вираз не містить гравітаційної сталої G.

У застосуванні до інформації, обмеження формулюється у вигляді

${\displaystyle I\leqslant {\frac {2\pi RE}{\hbar c\ln 2}},}$

де I — кількість інформації, виражена як число бітів, що містяться в квантових станах в сфері. Множник ln2 походить від визначення кількості інформації як логарифма за основою 2 від числа квантових станів (${\displaystyle I=log_{2}O}$).^[5] Використовуючи еквівалентність маси і енергії, інформаційна межа може бути переформульована як

${\displaystyle I\leqslant {\frac {2\pi cRm}{\hbar \ln 2}}\approx 2{,}5769082\cdot 10^{43}mR,}$

де m — маса системи в кілограмах, а радіус R виражений в метрах.

Бекенштейн вивів межу, виходячи з евристичних аргументів, що стосуються чорних дір. Якщо існує система, що порушує межу, тобто має надлишок ентропії, тоді, як стверджував Бекенштейн, можна було б порушити другий закон термодинаміки, опустивши систему в чорну діру. У 1995 році Тед Джекобсон показав, що рівняння Ейнштейна (рівняння гравітаційного поля в загальній теорії відносності) можуть бути виведені з припущення про істинність межі Бекенштейна і законів термодинаміки^[6][7]. Однак, незважаючи на ряд запропонованих аргументів, які показували, що в тій чи іншій формі межа неминуче повинна існувати для взаємної несуперечливості законів термодинаміки і загальної теорії відносності, точне формулювання межі було предметом дискусій.^{[8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18]}

Доказ зв'язку Бекенштейна в рамках квантової теорії поля був наданий Казіні в 2008 році.^[19] Одним із найважливіших інсайтів доведення було знайти правильну інтерпретацію величин, що з’являються з обох сторін виразу.

Наївні визначення ентропії та густини енергії в квантовій теорії поля страждають від ультрафіолетової розбіжності. У випадку з межею Бекенштейна ультрафіолетових розбіжностей можна уникнути, взявши різницю між величинами, обчисленими в збудженому стані, і тими ж величинами, обчисленими у стані вакууму. Наприклад, для заданої області простору ${\displaystyle V}$ Казіні визначає ентропію ліворуч від межі Бекенштейна як:

${\displaystyle S_{V}=S(\rho _{V})-S(\rho _{V}^{0})=-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})+\mathrm {tr} (\rho _{V}^{0}\log \rho _{V}^{0})}$

де ${\displaystyle S(\rho _{V})}$ - це ентропія фон Неймана зниженої матриці густини ${\displaystyle \rho _{V}}$, пов'язана з ${\displaystyle V}$ у збудженому стані ${\displaystyle \rho }$, а ${\displaystyle S(\rho _{V}^{0})}$ - відповідна ентропія фон Неймана для стану вакууму ${\displaystyle \rho ^{0}}$.

Праворуч від межі Бекенштейна важким моментом є суворе тлумачення величини ${\displaystyle 2\pi RE}$, де ${\displaystyle R}$ є характерною шкалою довжини системи і ${\displaystyle E}$ є характерною енергією. Цей виріб має ті самі одиниці виміру, що і генератор імпульсу Лоренца, і природним аналогом імпульсу в цій ситуації є модульний гамільтоніан стану вакууму ${\displaystyle K=-\log \rho _{V}^{0}}$. Казіні визначає праву частину межі Бекенштейна як різницю між значенням очікування модульного гамільтоніана в збудженому стані та вакуумному стані,

${\displaystyle K_{V}=\mathrm {tr} (K\rho _{V})-\mathrm {tr} (K\rho _{V}^{0}).}$

Відповідно до цих визначень межа читається як

${\displaystyle S_{V}\leq K_{V},}$

які можна переставити, щоб отримати

${\displaystyle \mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V}^{0})\geq 0.}$.

Це просто твердження про позитивність відносної ентропії, що доводить межу Бекенштейна.

Ентропія тривимірних чорних дір, яка обчислюється за формулою Бекенштейна і Хокінга, точно насичує межу Бекенштейна:

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

${\displaystyle A=4\pi r_{s}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},}$

${\displaystyle l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3},}$

${\displaystyle S={\frac {kA}{4l_{P}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}},}$

де k — стала Больцмана, A — двовимірна площа горизонту подій чорної діри в одиницях планківської довжини, ${\displaystyle l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3}}$. Межа тісно пов'язана з термодинамікою чорних дір, голографічним принципом і голографічною межею Буссо^[en] в квантової гравітації і може бути виведена з передбачуваної сильної форми останнього.

У середньому людський мозок має масу 1,5 кг і об'ємом 1,26 л. Якщо мозок апроксимувати сферою, її радіус буде 6,7 см.

Межа Бекенштейна для кількості інформації в такому випадку складе близько ${\displaystyle 2{,}6\cdot 10^{42}}$ біт, що представляє максимальну кількість інформації, необхідну для повного відтворення середнього людського мозку аж до квантового рівня, а кількість ${\displaystyle O=2^{I}}$ квантових станів людського мозку має бути менше приблизно ${\displaystyle 10^{7{,}8\cdot 10^{41}}}$.

• Принцип Ландауера
• Колмогоровська складність
• Термодинаміка чорних дір
• Больцманівський мозок
• Цифрова фізика
• Межі обчислень^[ru]
• Межа Чандрасекара

• J. D. Bekenstein, «Black Holes and the Second Law», Lettere al Nuovo Cimento, Vol. 4, No 15 (August 12, 1972), pp. 737—740, doi:10.1007/BF02757029, Bibcode: 1972NCimL...4..737B. Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Black Holes and Entropy», Physical Review D, Vol. 7, No. 8 (April 15, 1973), pp. 2333—2346, doi:10.1103/PhysRevD.7.2333, Bibcode: 1973PhRvD...7.2333B. Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Generalized second law of thermodynamics in black-hole physics», Physical Review D, Vol. 9, No. 12 (June 15, 1974), pp. 3292-3300, doi:10.1103/PhysRevD.9.3292, Bibcode: 1974PhRvD...9.3292B. Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Statistical black-hole thermodynamics», Physical Review D, Vol. 12, No. 10 (November 15, 1975), pp. 3077-3085, doi:10.1103/PhysRevD.12.3077, Bibcode: 1975PhRvD..12.3077B. Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Black-hole thermodynamics», Physics Today, Vol. 33, Issue 1 (January 1980), pp. 24-31, doi:10.1063/1.2913906, Bibcode: 1980PhT....33a..24B. Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems», Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, doi:10.1103/PhysRevD.23.287, Bibcode: 1981PhRvD..23..287B. Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Energy Cost of Information Transfer», Physical Review Letters, Vol. 46, No. 10 (March 9, 1981), pp. 623—626, doi:10.1103/PhysRevLett.46.623, Bibcode: 1981PhRvL..46..623B. Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Specific entropy and the sign of the energy», Physical Review D, Vol. 26, No. 4 (August 15, 1982), pp. 950—953, doi:10.1103/PhysRevD.26.950, Bibcode: 1982PhRvD..26..950B.
• Jacob D. Bekenstein, «Entropy content and information flow in systems with limited energy», Physical Review D, Vol. 30, No. 8, (October 15, 1984), pp. 1669—1679, doi:10.1103/PhysRevD.30.1669, Bibcode: 1984PhRvD..30.1669B. Mirror link.
• Jacob D. Bekenstein, «Communication and energy», Physical Review A, Vol. 37, Issue 9 (May 1988), pp. 3437-3449, doi:10.1103/PhysRevA.37.3437, Bibcode: 1988PhRvA..37.3437B. Mirror link.
• Marcelo Schiffer and Jacob D. Bekenstein, «Proof of the quantum bound on specific entropy for free fields», Physical Review D, Vol. 39, Issue 4 (February 15, 1989), pp. 1109—1115, doi:10.1103/PhysRevD.39.1109 PMID 9959747, Bibcode: 1989PhRvD..39.1109S.
• Jacob D. Bekenstein, «Is the Cosmological Singularity Thermodynamically Possible?», International Journal of Theoretical Physics^[en], Vol. 28, Issue 9 (September 1989), pp. 967—981, doi:10.1007/BF00670342, Bibcode: 1989IJTP...28..967B.
• Jacob D. Bekenstein, «Entropy bounds and black hole remnants», Physical Review D, Vol. 49, Issue 4 (February 15, 1994), pp. 1912—1921, doi:10.1103/PhysRevD.49.1912, Bibcode: 1994PhRvD..49.1912B. Also at arXiv:gr-qc/9307035, July 25, 1993.
• Oleg B. Zaslavskii, «Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes», Classical and Quantum Gravity^[en], Vol. 13, No. 1 (January 1996), pp. L7-L11, doi:10.1088/0264-9381/13/1/002, Bibcode: 1996CQGra..13L...7Z. See also O. B. Zaslavskii, «Corrigendum to 'Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes'», Classical and Quantum Gravity^[en], Vol. 13, No. 9 (September 1996), p. 2607, doi:10.1088/0264-9381/13/9/024, Bibcode: 1996CQGra..13.2607Z.
• Jacob D. Bekenstein, «Non-Archimedean character of quantum buoyancy and the generalized second law of thermodynamics», Physical Review D, Vol. 60, Issue 12 (December 15, 1999), Art. No. 124010, 9 pages, doi:10.1103/PhysRevD.60.124010, Bibcode: 1999PhRvD..60l4010B. Also at arXiv:gr-qc/9906058, June 16, 1999.

• Jacob D. Bekenstein, «Bekenstein bound» [Архівовано 14 квітня 2021 у Wayback Machine.], Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7374, doi:10.4249/scholarpedia.7374.
• Jacob D. Bekenstein, «Bekenstein-Hawking entropy» [Архівовано 16 жовтня 2011 у Wayback Machine.], Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7375, doi:10.4249/scholarpedia.7375.
• Jacob D. Bekenstein's website [Архівовано 8 жовтня 2018 у Wayback Machine.] at the Racah Institute of Physics^[en], Hebrew University of Jerusalem, which contains a number of articles on the Bekenstein bound.
• сторінка Яакова Бекенштейна [Архівовано 8 жовтня 2018 у Wayback Machine.] (Єврейський університет у Єрусалимі), на якій опубліковано ряд статей про межу Бекенштейна.