Множина Віталі

Справді, якщо зсунути цю множину зліченну кількість раз, то вона заповнить весь відрізок: ${\displaystyle E=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}=[0,\;1]}$.

Отже, внаслідок зліченної адитивності міри Лебега ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}$.

Якби у побудованої множини ${\displaystyle \ E}$ була міра, то вона мала б бути не менше нуля.

Нехай ${\displaystyle \ \mu (E)>0}$, при цьому всі ${\displaystyle \ \mu (E_{n})}$ — рівні один одному внаслідок інваріантності міри Лебега. Тоді внаслідок зліченної адитивності міри Лебега ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})>1}$, що неможливо, оскільки ${\displaystyle \mu ([0,\;1])=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})=\mu (E)=1}$.

${\displaystyle \ \mu (E)=0}$

${\displaystyle \mu ([0,\;1])=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\mu (E)}$

${\displaystyle [0,\;1]}$

${\displaystyle 1}$