Мрія першокурсника

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (грудень 2019)

Мрією першокурсника (англ. Freshman's dream) часто називають помилку ${\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}}$, де ${\displaystyle n}$ є дійсним числом (зазвичай додатним цілим, більшим за ${\displaystyle 1}$). Таку помилку можна зустріти в школі і у студентів початківців коли вони підносять до степеня суму дійсних чисел. Коли ${\displaystyle n=2}$, легко побачити чому це не так: ${\displaystyle (x+y)^{2}}$ можна обчислити як ${\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}}$ використовуючи дистрибутивність. Для більших додатних цілих значень ${\displaystyle n}$, правильний результат задається біномом Ньютона.

Також «мрією першокурсника» іноді називають теорему, яка стверджує, що для простого числа ${\displaystyle p}$, якщо ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ це члени комутативне кільце характеристики ${\displaystyle p}$, тоді ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$. У цьому випадку, «помилка» насправді дає коректний результат, оскільки ${\displaystyle p}$ ділить всі біноміальні коефіцієнти окрім першого і останнього.

• ${\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25}$, але ${\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17}$.
• ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ зазвичай не дорівнює ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|}$. Наприклад, ${\displaystyle {\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5}$, що не дорівнює ${\displaystyle 3+4=7}$. У цьому прикладі, помилка сталась із показником ${\displaystyle n=1/2}$.

${\displaystyle (x+y)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}{\pmod {p}}}$, ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle p}$ — просте

Використаємо біном Ньютона:

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}+\underbrace {\sum _{k=1}^{p-1}{p \choose k}x^{k}y^{p-k}} _{\equiv 0{\pmod {p}}}}$

З іншого боку, ${\displaystyle {p \choose k}}$ ділиться на ${\displaystyle p}$ для ${\displaystyle 1\leq k\leq p-1}$, отже

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$.

${\displaystyle \Box \!\,}$

Таким чином, з характеристикою ${\displaystyle p}$ мрія першокурсника стає чинною тотожністю. Цей результат демонструє, що піднесення до степеня ${\displaystyle p}$ породжує ендоморфізм, відомий як ендоморфізм Фробеніуса кільця.

• Тест простоти