Напіврегулярний простір

Напіврегулярним простором називається топологічний простір у якому регулярні відкриті множини (тобто множини які є рівними внутрішності свого замикання) утворюють базу топології. Якщо X є довільним простором, то простір ${\displaystyle X_{s}}$ породжений регулярними відкритими множинами простору X називається напіврегуляризацією X. У цих позначеннях X є напіврегулярним, якщо ${\displaystyle X_{s}=X.}$

• Кожен регулярний простір X є напіврегулярним.

Очевидно, що весь простір X є регулярною відкритою множиною. Нехай тепер ${\displaystyle O_{1},O_{2}}$ — регулярні відкриті множини і ${\displaystyle x\in O_{1}\cap O_{2}.}$ Тоді, згідно із одним із означень регулярного простору, існує відкрита множина ${\displaystyle U}$ для якої ${\displaystyle x\in U\subseteq {\bar {U}}\subseteq O_{1}\cap O_{2}.}$ Позначаючи через ${\displaystyle V}$ внутрішність множини ${\displaystyle {\bar {U}}}$ отримаємо, що ${\displaystyle V}$ є регулярною відкритою множиною і ${\displaystyle x\in V\subseteq {\bar {U}}\subseteq O_{1}\cap O_{2}.}$ Подібним чином для відкритої множини ${\displaystyle O}$ і ${\displaystyle x\in O}$ можна знайти регулярну відкриту множину ${\displaystyle V}$ для якої ${\displaystyle x\in V\subseteq O.}$ Отже регулярні відкриті множини у цьому випадку дійсно утворюють базу топології.

• Натомість напіврегулярні простори можуть не бути регулярними. Прикладами гаусдорфових напіврегулярних просторів, що не є регулярними є спрощений квадрат Аренса і топологія ірраціонального схилу.
• Екстремально незв'язний напіврегулярний простір є регулярним.

• Кожен топологічний простір можна вкласти у напіврегулярний простір. Для цього, наприклад, на множині ${\displaystyle X\times I}$ можна ввести топологію за допомогою околів. Якщо ${\displaystyle y>0}$ то околами точки ${\displaystyle (x,y)}$ є інтервальні околи ${\displaystyle \{(x,z)\ |\ y-\varepsilon <z<y+\varepsilon \}.}$ Для ${\displaystyle y=0}$ околами точки ${\displaystyle (x,0)}$ будуть ${\displaystyle \{(x',z)\ |\ x'\in U,0\leqslant z<\varepsilon _{x'}\},}$ де ${\displaystyle U}$ — деякий окіл точки x і для кожного ${\displaystyle x'\in U}$ число ${\displaystyle \varepsilon _{x}}$ є деяким малим додатнім числом. Отриманий таким чином простір є напіврегулярним і X є гомеоморфним замкнутому ніде не щільному підпростору ${\displaystyle \{(x,0)\ |\ x\in X\}.}$

Як наслідок, підпростір напіврегулярного простору може не бути напіврегулярним. Тобто властивість напіврегулярності не є спадковою.

• Якщо ${\displaystyle U\subset X}$ є відкритою підмножиною напіврегулярного простору, то U є напіврегулярним простором. Тобто властивість напіврегулярності є відкрито спадковою.
• Нехай ${\displaystyle D\subset X}$ є щільною підмножиною. Тоді ${\displaystyle D_{s}}$ є щільною підмножиною ${\displaystyle X_{s}}$ і, як наслідок, властивість напіврегулярності успадковується на щільних підмножинах.
• Об'єднання двох напіврегулярних топологічних просторів може не бути напіврегулярним простором. Наприклад можна розглянути простір ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ на множині дійсних чисел із топологією, що є мінімальним розширенням звичайної топології при якому множина раціональних чисел є відкритою. Для ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle a<b,}$ то внутрішність замикання множини ${\displaystyle (a,b)\cap \mathbb {Q} }$ є рівною ${\displaystyle (a,b).}$ Оскільки ${\displaystyle (a,b)\not \subset \mathbb {Q} }$ то відкрита множина ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ не містить жодної регулярної відкритої множини. Тому простір ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ не є напіврегулярним. Натомість підпростори ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ і ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ простору ${\displaystyle \mathbb {R} '}$ мають ту ж топологію, як і при розгляді їх як підпросторів ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Тому вони є регулярними і тому також і напіврегулярними.

• Регулярний простір

• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
• Porter, Jack R.; Woods, R. Grant (1988), Extensions and Absolutes of Hausdorff Spaces, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-8316-4
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover. ISBN 0-486-43479-6.