Нерівність Чебишова

Для нерівності для наборів чисел — див. Нерівність Чебишова для сум чисел.

Нерівність Чебишова — результат теорії ймовірностей, який стверджує, що для будь-якої випадкової величини із скінченною дисперсією майже всі значення концентруються біля значення математичного сподівання. Нерівність Чебишева дає кількісні характеристики цієї властивості.

Нехай ${\displaystyle X}$ є випадковою величиною із математичним сподіванням ${\displaystyle \eta }$ і дисперсією ${\displaystyle {\sigma }^{2}}$. Тоді для всякого ${\displaystyle \epsilon >0}$ виконується нерівність:

${\displaystyle P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}\leq {\frac {{\sigma }^{2}}{{\epsilon }^{2}}}}$

інакше

${\displaystyle P\{|X-\eta |\geq k\sigma \}\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$

Нам цікавий лише випадок з ${\displaystyle k>1.}$ Коли ${\displaystyle k\leq 1}$ права частина ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}\geq 1}$ і нерівність стає тривіальною, бо ймовірність не перевищує 1.

Наприклад, використовуючи ${\displaystyle k={\sqrt {2}}}$ показуємо, що ймовірність того., що значення лежить поза проміжком ${\displaystyle (\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )}$ не перевищує ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$.

Тому що нерівність можна застосувати до будь-яких розподілів якщо вони мають відоме середнє значення і дисперсію, нерівність зазвичай дає слабку оцінку в порівнянні з ситуацією коли відомо більше даних про розподіл.

${\displaystyle k}$	Мін. % в ${\displaystyle k}$ стандартних    відхилень від середнього	Макс. % поза ${\displaystyle k}$ стандартних    відхилень від середнього
1	0%	100%
√2	50%	50%
1.5	55.56%	44.44%
2	75%	25%
3	88.8889%	11.1111%
4	93.75%	6.25%
5	96%	4%
6	97.2222%	2.7778%
7	97.9592%	2.0408%
8	98.4375%	1.5625%
9	98.7654%	1.2346%
10	99%	1%

Припустімо, що ми навмання обираємо часописну статтю зі джерела з 1000 слів на статтю в середньому, зі стандартним відхиленням у 200 слів. Ми можемо зробити висновок, що ймовірність того, що стаття містить від 600 до 1400 слів (тобто в межах k = 2 стандартних відхилень від середнього) має бути щонайменше 75%, бо згідно з нерівністю Чебишова шанс опинитись за межами цього діапазону не більший ніж 1⁄k²
= 1/4}}. Але, якби ми додатково знали, що ми маємо справу з нормальним розподілом, ми могли б сказати, що існує 75% шанс того, що кількість слів між 770 і 1230 (точніше обмеження).

Як показано вище, нерівність зазвичай надає радше слабку оцінку. Однак, для довільного розподілу її неможливо покращити. Це точна оцінка для такого розподілу: для будь-якого k ≥ 1,

${\displaystyle X={\begin{cases}-1,&{\text{з імовірністю }}{\frac {1}{2k^{2}}}\\0,&{\text{з імовірністю }}1-{\frac {1}{k^{2}}}\\1,&{\text{з імовірністю }}{\frac {1}{2k^{2}}}\end{cases}}}$

Для цього прикладу, середнє значення μ = 0 і стандартне відхилення σ = 1/k, отже

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\Pr(|X|\geq 1)={\frac {1}{k^{2}}}.}$

саме для розподілів, які є лінійними перетвореннями цього прикладу, нерівність Чебишева стає рівністю.

Цей розділ не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цей розділ, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (травень 2016)

Нехай ${\displaystyle F(x)}$  - функція розподілу змінної ${\displaystyle X}$. Тоді:

${\displaystyle P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}=\int _{-\infty }^{-\eta -\epsilon }\,dF(x)+\int _{\eta +\epsilon }^{\infty }\,dF(x)=\int _{|x-\eta |\geq \epsilon }\,dF(x)}$

Звідси одержуємо,

${\displaystyle {\sigma }^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\eta )^{2}\,dF(x)\geq \int _{|x-\eta |\geq \epsilon }(x-\eta )^{2}\,dF(x)\geq {\epsilon }^{2}\int _{|x-\eta |\geq \epsilon }\,dF(x)}$

З того, що ${\displaystyle P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}=\int _{|x-\eta |\geq \epsilon }\,dF(x)}$ одержуємо твердження теореми.

• Нерівність Маркова
• Нерівність Ляпунова
• Чебишов Пафнутій Львович

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)