Нормована алгебра з діленням

Нормована алгебра з діленням — така алгебра з діленням ${\displaystyle \ {\mathcal {A}}}$ над полем дійсних чи комплексних чисел, яка одночасно є нормованою алгеброю з нормою || · ||, що задовільняє умову:

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|\quad \forall x,y\in {\mathcal {A}}.}$

Теорема Гурвіца показує що таких алгебр (з точністю до ізоморфізма) існує тільки 4, а саме:

• алгебра дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• алгебра комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$
• алгебра кватерніонів ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$
• алгебра октав ${\displaystyle \mathbb {O} .}$

Норма в цих випадках збігається з модулем числа. Перші три алгебри є асоціативними, а четверта лише альтернативною.

Єдиною нормованою алгеброю з діленням над полем комплексних чисел є самі комплексні числа.

Нормовані алгебри з діленням є частковим випадком композитних алгебр. Які є алгебрами з одиницею та з мультиплікативною квадратичною формою.

Композитна алгебра не завжди є алгеброю з діленням, вона може мати дільники нуля.

Над полем дійсних чисел композитними алгебрами є також:

• алгебра спліт-комплексних чисел,
• алгебра спліт-кватерніонів,
• алгебра спліт-октав.

• Процедура Келі — Діксона
• Двовимірні гіперкомплексні числа

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)