Образ відображення

Нехай $f:X\to Y$ — функціональне відображення множини X в множину Y.

Образом відображення (чи областю значень функції) f називається множина всіх елементів виду f(x)∈Y, тобто:

im f = {f(x)| x∈X} = f(X) (очевидно, що f(X)⊂Y).

Ядром відображення називається множина всіх елементів виду x∈X, для яких f(x)={0}.

Точно так образом елемента або значенням відображення в точці x ∈ X при відображенні f називається такий елемент y ∈ Y, що y = f(x).

Образом підмножини А⊂X при відображенні f називається така підмножина B⊂Y, що B = {f(x)| x∈A} = f(A).

Прообразом елемента y∈Y називається множина всіх елементів виду f^-1(y)∈X, де f^-1(y) = {x∈X| f(x)=у}.

Прообразом підмножини B⊂Y називається множина виду f^-1(B) = {x∈X| f(x)∈B}.

Не слід плутати f^-1 з оберненим відображенням для бієктивного відображення.

Приклади

1. $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ визначена як $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{if }}x=1\\d,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3.\end{matrix}}\right.$

У цьому випадку, образом множини {2,3} при відображенні f є f({2, 3}) = {c, d}, і областю значень f є {a, c, d}. Прообразом множини {a, b} є f⁻¹({a, b}) = {1}.

2. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ визначена як $f(x)=x^{2}$ .

У цьому прикладі, образом [-2,3] для відображення f є f([-2,3])=[0,9] і областю значень f є множина невід'ємних дійсних чисел. Прообразом [0,9] для f є f⁻¹([0,9])=[-3,3].