Одновимірне стаціонарне рівняння Шредінгера

Одновимірне стаціонарне рівняння Шредінгера — лінійне звичайне диференціальне рівняння другого порядку виду

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+U(x)\psi (x)=E\psi (x),\qquad (1)}$

де ${\displaystyle \hbar }$ — стала Планка, ${\displaystyle m}$ — маса частинки, ${\displaystyle U(x)}$ — потенціальна енергія, ${\displaystyle E}$ — повна енергія, ${\displaystyle \psi (x)}$ — хвильова функція. Для повної постановки задачі про знаходження рішення ${\displaystyle (1)}$ треба задати також граничні умови, які представляються в загальному вигляді для інтервалу ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \alpha _{1}\psi (a)+\beta _{1}{\frac {d\psi (a)}{dx}}=\gamma _{1},\qquad (2)}$

${\displaystyle \alpha _{2}\psi (b)+\beta _{2}{\frac {d\psi (b)}{dx}}=\gamma _{2},\qquad (3)}$

де ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2},\gamma _{1},\gamma _{2}}$ — константи. Квантова механіка розглядає рішення рівняння ${\displaystyle (1)}$, з граничними умовами ${\displaystyle (2)}$ та ${\displaystyle (3)}$.

Виходячи з фізичного змісту хвильова функція має бути однозначною та неперервною функцією своїх координат. Умова нормування з'являється з інтерпретації квадрата хвильової функції як імовірності.

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1.\qquad (0a)}$

Звідси випливає, зокрема, що хвильова функція має досить швидко спадати з віддаленням від початку відліку. В одновимірному випадку, якщо хвильова функція ${\displaystyle \psi (x)\sim 1/x^{\alpha }}$ при ${\displaystyle x\longrightarrow +\infty }$, то показник ступеня відповідно до вираження

${\displaystyle \int ^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=\int ^{+\infty }1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\alpha -1}\mid ^{+\infty }\longrightarrow 0,\qquad (0b)}$

задовольняти нерівності ${\displaystyle \alpha >1/2.}$

Інтегрування рівняння ${\displaystyle (1)}$ в малій околиці точки a дає додаткові умови на похідну хвильової функції

${\displaystyle \int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}dx={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }(U(x)-E)\psi (x)dx,\qquad (0c)}$

з якого в межі ${\displaystyle \varepsilon \longrightarrow 0}$ виходить

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a-0}=0,\qquad (0d)}$

якщо потенційна енергія має в точці a розриви першого роду (кінцеві стрибки). Якщо ж в точці a є Розрив другого роду, наприклад, потенційна енергія описується дельта-функцією (${\displaystyle U(x)=-G\delta (x-a)}$), то умова ${\displaystyle (0c)}$ набирає вигляду

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a-0}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-G)\psi (a).\qquad (0e)}$

Якщо енергетичний спектр невироджений, то існує тільки одна хвильова функція, що є рішенням рівняння Шредінгера для даної енергії, причому вона визначена з точністю до фази. У разі, коли потенціал симетричний, то хвильові функції будуть або парними, або непарними і парність хвильових функцій чергується.

У загальному вигляді рішення рівняння ${\displaystyle (1)}$, з граничними умовами ${\displaystyle (2)}$ і ${\displaystyle (3)}$ не існує, але при деякому виборі потенційної енергії можна знайти точні рішення. Вони грають важливу роль в побудові аналітичних наближених рішень рівняння ${\displaystyle (1)}$.

У вільному просторі, де відсутні потенціали рівняння ${\displaystyle (1)}$ приймає особливо простий вигляд

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}=E\psi (x).\qquad (4)}$

Для цього рівняння рішенням є суперпозиція плоских хвиль

${\displaystyle \psi (x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }.\qquad (5)}$

Тут енергія ${\displaystyle E}$ може приймати всі значення вище нуля, тому говорять, що власне значення належить безперервному спектру. Константи ${\displaystyle C_{1}}$ та ${\displaystyle C_{2}}$ визначаються з умови перенормування.

Якщо помістити частку в потенційну яму, то безперервний спектр енергій стає дискретним. Для рівняння ${\displaystyle (1)}$ з потенційною енергією ${\displaystyle U(x)}$, яка дорівнює нулю в інтервалі ${\displaystyle (0,a)}$ і стає нескінченною в точках ${\displaystyle 0}$ та ${\displaystyle a}$. На цьому інтервалі Рівняння Шредінгера збігається з ${\displaystyle (4)}$. Граничні умови ${\displaystyle (2)}$, ${\displaystyle (3)}$ для хвильової функції запишуться у вигляді

${\displaystyle \psi (0)=0,\qquad (6)}$

${\displaystyle \psi (a)=0.\qquad (7)}$

Шукаємо рішення у вигляді ${\displaystyle A\sin {({\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}x+\delta )}}$. З урахуванням граничних умов одержуємо для власних значень енергії ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}\qquad (8)}$

і власних функцій з урахуванням нормування

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {{\frac {\pi n}{a}}x}.\qquad (9)}$

Більш-менш складний потенціал у рівнянні ${\displaystyle (1)}$ вже не дозволяє знайти аналітичний розв'язок у загальному випадку (хоча для окремих випадків такий розв'язок знайдено, наприклад, для задачі двох тіл), тому для розв'язку рівняння Шредінгера застосовують чисельні методи.

Одним з найпростіших є метод скінченних різниць, в якому рівняння ${\displaystyle (1)}$ замінюється рівнянням в кінцевих різницях на обраній сітці з вузлами в точках ${\displaystyle x_{n}}$, а саме, замінюючи другу похідну за формулою

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}={\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}},\qquad (10)}$

де ${\displaystyle h}$ — Крок дискретизації, ${\displaystyle n}$ — номер вузла сітки, отримаємо

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}}+U_{n}y_{n}=Ey_{n},\qquad (11)}$

де ${\displaystyle U_{n}}$ — значення потенційної енергії ${\displaystyle U(x)}$ на вузлах сітки. Нехай ${\displaystyle a}$ деякий характерний масштаб потенціалу, тоді рівняння ${\displaystyle (11)}$ можна записати в безрозмірному вигляді

${\displaystyle -y_{n-1}+(2+h^{2}{\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}})y_{n}-y_{n+1}=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}y_{n}.\qquad (12)}$

Якщо позначити безрозмірні величини потенційної енергії ${\displaystyle v_{n}={\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}}}$ і власні значення ${\displaystyle e=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}}$, то рівняння ${\displaystyle (12)}$ спроститься

${\displaystyle -y_{n-1}+(2+h^{2}v_{n}-e)y_{n}-y_{n+1}=0.\qquad (13)}$

Під останнім виразом треба розуміти систему рівнянь для всіх можливих індексів ${\displaystyle n}$.

• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М. Мир, 1990. — 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. Изд-во МГУ, 1983.
• Калиткин. Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

• Яма з нескінченними стінками