Ортогональні функції

Ортогональні функції в математиці належать функційному простору (це векторний простір з білінійною формою). Якщо областю визначення функцій цього простору є інтервал, білінійну форму можна визначити як інтеграл на інтервалі для добутку цих функцій:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.}$

Функції ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ є ортогональними, коли інтеграл рівний нулю, тобто, ${\displaystyle \langle f,\,g\rangle =0}$ при ${\displaystyle f\neq g}$. Подібно до базису векторів скінченно-вимірного простору, ортогональні функції можуть утворювати нескінченний базис функційного простору. Описаний інтеграл є аналогом скалярного добутку векторів.

Деякі набори ортогональних функцій є стандартним базисом для апроксимації функцій.

Наприклад, функції sin nx та sin mx є ортогональними на інтервалі ${\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}$ для ${\displaystyle m\neq n}$, де n та m є натуральними числами. Тоді

${\displaystyle 2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),}$

тому інтеграл добутку двох синусів рівний нулю.^[1] Разом із функціями косинус, ці ортогональні функції можуть бути звбрані в тригонометричний многочлен, щоб апроксимувати задану функцію на інтервалі своїм рядом Фур'є.

Якщо для послідовності многочленів ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$ на ітервалі ${\displaystyle [-1,1]}$ застосувати процес Грама — Шмідта, то отримаємо Поліноми Лежандра. Ще одним прикладом ортогональних поліномів є Приєднані функції Лежандра.

Для ортогоналізації, вагова функція ${\displaystyle w(x)}$ може вставлятись в таку білінійну форму:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.}$

Поліноми Лаґерра на ${\displaystyle (0,\infty )}$ мають вагову функцію ${\displaystyle w(x)=e^{-x}}$.

В фізиці та теорії ймовірностей Поліноми Ерміта на ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$, мають вагові функції ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}$ та ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}/2}}$, відповідно.

Поліноми Чебишова визначені на ${\displaystyle [-1,1]}$ мають вагові функції ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ та ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Поліноми Зерніке(інші мови) визначені на одиничному крузі мають ортогональність радіальних та кутових частин.

Функція Уолша and Гаарів вейвлетє прикладами ортогональних функцій з дискретними значеннями.

Поліноми Лежандра та Чебишева є ортогональними системами на інтервалі [−1, 1], але деколи потрібні ортогональні системи на [0, ∞). Тоді застосовують Перетворення Келі, щоб перевести область визначення до [−1, 1]. Так утворюються сімейства раціональних ортогональних функцій, що називаються called раціональні функції Лежандра(інші мови) та раціональні функції Чебишева(інші мови).

Розв'язок лінійних диференціальних рівнянь з крайовими умовами є середнє зважене ортогональних розв'язків (a.k.a. власних функцій), тобто це узагальнене перетворення Фур'є(інші мови).

• Власні вектори та власні значення
• Гільбертів простір
• Теорема Карунена — Лоева
• Теорема Лаурічелла(інші мови)
• Функції Ваньє

• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Вища школа, 1993. — 375 с. — ISBN 5-11-003758-2.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Ахієзер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі. — 2025. — 663 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Ортогональні функції(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.