Перерахування графів

Перерахування графів — категорія завдань нумераційної комбінаторики, в яких потрібно перерахувати неорієнтовані або орієнтовані графи певних типів, як правило, у вигляді функції від числа вершин графу^[1]. Ці завдання можуть бути розв'язані або точно (як завдання алгебричного перерахування^[en]) або асимптотично.

Піонерами в цій галузі математики були Пойа^[2], Келі^[3] і Редфілд^[4].

У деяких задачах перерахування графів вершини графів вважаються позначеними, тобто відрізняються одна від одної. В інших задачах будь-яка перестановка вершин вважається тим самим графом, так що вершини вважаються ідентичними або непозначеними. У загальному випадку, позначені задачі, як правило, виявляються простішими^[1]. Теорема Редфілда — Пойї є важливим засобом для зведення непозначеної задачі до позначеної — кожен непозначений клас вважається класом симетрії позначених об'єктів.

Деякі важливі результати в цій галузі.

• Кількість позначених простих неорієнтованих графів з n вершинами дорівнює 2^{n(n − 1)/2[5]}
• Кількість позначених простих орієнтованих графів з n вершинами дорівнює 2^{n(n − 1)[6]}
• Число C_n зв'язних позначених неорієнтованих графів з n вершинами задовольняє рекурентному співвідношенню^[7]

${\displaystyle C_{n}=2^{n \choose 2}-{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n-1}k{n \choose k}2^{n-k \choose 2}C_{k}.}$

з якого можна легко обчислити для n = 1, 2, 3, ..., що значення C_n дорівнюють^[8]:

1, 1, 4, 38, 728, 26704, 1866256, ...

• Кількість позначених вільних дерев з n вершинами дорівнює n^{n − 2} (формула Келі).
• Число непозначених гусениць з n вершинами дорівнює^[9]

${\displaystyle 2^{n-4}+2^{\lfloor (n-4)/2\rfloor }.}$

• Harary F., Palmer E. M. Graphical Enumeration. — Academic Press, 1973. — ISBN 0-12-324245-2.
• Harary F., Schwenk A. J. The number of caterpillars // Discrete Mathematics. — 1973. — Т. 6, вип. 4. — С. 359–365. — DOI:10.1016/0012-365x(73)90067-8.
• Pólya G. Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen // Acta Mathematica. — 1937. — Т. 68, вип. 1. — DOI:10.1007/BF02546665.
• Redfield J. H. The theory of group-reduced distributions // American J. Math. — 1927. — Т. 49.