Перцептрон

Частина з циклу
Машинне навчання та добування даних
Парадигми Кероване навчання Некероване навчання Інтерактивне навчання Пакетне навчання Метанавчання Напівкероване навчання Самокероване навчання Навчання з підкріпленням Навчання на основі правил Квантове машинне навчання
Задачі Класифікація Породжувальна модель Регресія Кластерування Знижування розмірності Оцінювання густини Виявляння аномалій Очищування даних[en] АвтоМН Асоціативні правила Семантичний аналіз[en] Структурове передбачування Конструювання ознак Навчання ознак Навчання ранжуванню Виведення граматик[en] Навчання онтологій[en] Мультимодальне навчання[en]
Кероване навчання (класифікація • регресія) Ансамблі Випадковий ліс Бутстрепова агрегація Підсилювання Градієнтне підсилювання[en] AdaBoost[en] Дерева рішень MARS[en] CART Доречно-векторна машина k-сусідів Лінійна регресія Логістична регресія Лінійний розділювальний аналіз Наївний баєсів класифікатор Перцептрон Підмайстрове навчання Опорно-векторна машина Штучні нейронні мережі
Кластерування BIRCH[en] CURE Ієрархічне k-середніх Нечітке Очікування-максимізація DBSCAN OPTICS Спектральне Зсув середнього[en]
Знижування розмірності Факторний аналіз Метод незалежних компонент[en] Канонічна кореляція Дискримінантний аналіз Метод головних компонент Власний узагальнений розклад[en] Розклад невід'ємних матриць t-розподілене вкладення стохастичної близькості Навчання розріджених словників[en]
Структурове передбачування Графові моделі Баєсова мережа Прихована марковська модель Умовне випадкове поле
Виявляння аномалій RANSAC k-НС Коефіцієнт локального відхилення Відстань Кука Ізоляційний ліс[en]
Штучна нейронна мережа Автокодувальник Когнітивні обчислення[en] Глибоке навчання DeepDream Нейронна мережа прямого поширення Рекурентна нейронна мережа ДКЧП ВРВ МВС Резервуарне обчислення Обмежена машина Больцмана ГЗМ Дифузійна модель Самоорганізаційна карта Згорткова нейронна мережа U-Net Трансформер Зоровий Спайкова нейронна мережа[en] Мемтранзистор Електрохімічна ПДД[en] (ECRAM)
Навчання з підкріпленням Q-навчання SARSA Метод часових різниць Багатоагентне навчання з підкріпленням Гра проти себе[en]
Навчання з людьми Активне навчання (машинне навчання)[en] Краудсорсинг Людина-в-циклі
Діагностування моделей Крива спроможності навчатися[en]
Математичні засади Ядрові машини Компроміс зсуву та дисперсії Ймовірнісно приблизно коректне навчання Мінімізація емпіричного ризику Оккамове навчання[en] Регуляризація LASSO[en] Тихонова Еластично-сіткова[en] Статистичне навчання Теорія Вапника — Червоненкіса Теорія обчислювального навчання[en]
Місця машинного навчання ECML PKDD[en] NeurIPS[en] ICML[en] ICLR IJCAI ML JMLR
Пов'язані статті Глосарій штучного інтелекту[en] Список наборів даних для досліджень з машинного навчання Перелік понять машинного навчання[en]
п о р

Перцептро́н, або персептро́н (англ. perceptron від лат. perceptio — сприйняття; нім. perzeptron) — математична або комп'ютерна модель сприйняття інформації мозком (кібернетична модель мозку), запропонована Френком Розенблатом в 1957 році^[1] й реалізована у вигляді електронної машини «Марк-1»^{[ru][nb 1]} у. 1960 році. Перцептрон став однією з перших моделей нейромереж, а «Марк-1» — першим у світі нейрокомп'ютером. Незважаючи на свою простоту, перцептрон здатен навчатися і розв'язувати досить складні завдання. Основна математична задача, з якою він здатний впоратися — це лінійне розділення довільних нелінійних множин, так зване забезпечення лінійної сепарабельності.

Перцептрон складається з трьох типів елементів, а саме: сигнали, що надходять від давачів, передаються до асоціативних елементів, а відтак до реагуючих. Таким чином, перцептрони дозволяють створити набір «асоціацій» між вхідними стимулами та необхідною реакцією на виході. В біологічному плані це відповідає перетворенню, наприклад, зорової інформації у фізіологічну відповідь рухових нейронів. Відповідно до сучасної термінології, перцептрони може бути класифіковано як штучні нейронні мережі:

1. з одним прихованим шаром;^{[nb 2]}
2. з пороговою передавальною функцією;
3. з прямим розповсюдженням сигналу.

На тлі зростання популярності нейронних мереж у 1969 році вийшла книга Марвіна Мінського та Сеймура Пейперта, що показала принципові обмеження перцептронів. Це призвело до зміщення інтересу дослідників штучного інтелекту в протилежну від нейромереж область символьних обчислень.^{[nb 3]} Крім того, через складність математичного аналізу перцептронів, а також відсутність загальноприйнятої термінології, виникли різні неточності і помилки.

Згодом інтерес до нейромереж, і зокрема, робіт Розенблата, поновився. Так, наприклад, зараз стрімко розвивається біокомп'ютинг, що у своїй теоретичній основі обчислень, зокрема, базується на нейронних мережах, а перцептрон відтворюють на базі бактеріородопсинмісних плівок.

У 1943 році в своїй статті «Логічне числення ідей, що стосуються нервової активності»^[2] Воррен Маккалох і Волтер Піттс^[en] запропонували поняття штучної нейронної мережі. Зокрема, ними було запропоновано модель штучного нейрону. Дональд Гебб в роботі «Організація поведінки»^[3] 1949 року описав основні принципи навчання нейронів.

Ці ідеї кілька років пізніше розвинув американський нейрофізіолог Френк Розенблат. Він запропонував схему пристрою, що моделює процес людського сприйняття, і назвав його «перцептроном». Перцептрон передавав сигнали від фотоелементів, що являють собою сенсорне поле, в блоки електромеханічних елементів пам'яті. Ці комірки з'єднувалися між собою випадковим чином відповідно до принципів конекціонізму. 1957 року в Корнельській лабораторії аеронавтики^[en] було успішно завершено моделювання роботи перцептрона на комп'ютері IBM 704, а двома роками пізніше, 23 червня 1960 року в Корнельському університеті, було продемонстровано перший нейрокомп'ютер — «Марк-1», що був здатен розпізнавати деякі з літер англійського алфавіту.^[4][5]

Щоби «навчити» перцептрон класифікувати образи, було розроблено спеціальний ітераційний метод навчання проб і помилок, що нагадує процес навчання людини — метод корекції помилки.^[6] Крім того, при розпізнанні тієї чи іншої літери перцептрон міг виділяти характерні особливості літери, що статистично зустрічаються частіше, ніж незначні відмінності в індивідуальних випадках. Таким чином, перцептрон був здатен узагальнювати літери, написані по-різному (різним почерком), в один узагальнений образ. Проте можливості перцептрона були обмеженими: машина не могла надійно розпізнавати частково закриті літери, а також літери іншого розміру, розташовані зі зсувом або поворотом відносно тих, що використовувалися на етапі її навчання.^[7]

Звіт про перші результати з'явився ще 1958 року — тоді Розенблат було опубліковано статтю «Перцептрон: Ймовірна модель зберігання та організації інформації в головному мозку».^[8] Але докладніше свої теорії та припущення щодо процесів сприйняття і перцептронів він описує 1962 року в книзі «Принципи нейродинаміки: Перцептрони та теорія механізмів мозку». У книзі він розглядає не лише вже готові моделі перцептрону з одним прихованим шаром, але й багатошарових перцептронів з перехресними^[ru] (третій розділ) і зворотніми^[ru] (четвертий розділ) зв'язками. В книзі також вводиться ряд важливих ідей та теорем, наприклад, доводиться теорема збіжності перцептрону.^[9]

Елементарний перцептрон складається з елементів трьох типів: S-елементів, A-елементів та одного R-елементу. S-елементи — це шар сенсорів, або рецепторів. У фізичному втіленні вони відповідають, наприклад, світлочутливим клітинам сітківки ока або фоторезисторам матриці камери. Кожен рецептор може перебувати в одному з двох станів — спокою або збудження, і лише в останньому випадку він передає одиничний сигнал до наступний шару, асоціативним елементам.

A-елементи називаються асоціативними, тому що кожному такому елементові, як правило, відповідає цілий набір (асоціація) S-елементів. A-елемент активізується, щойно кількість сигналів від S-елементів на його вході перевищує певну величину θ.^{[nb 4]}

Сигнали від збуджених A-елементів, своєю чергою, передаються до суматора R, причому сигнал від i-го асоціативного елемента передається з коефіцієнтом ${\displaystyle w_{i}}$.^[10] Цей коефіцієнт називається вагою A-R зв'язку.

Так само як і A-елементи, R-елемент підраховує суму значень вхідних сигналів, помножених на ваги (лінійну форму). R-елемент, а разом з ним і елементарний перцептрон, видає «1», якщо лінійна форма перевищує поріг θ, інакше на виході буде «-1». Математично, функцію, що реалізує R-елемент, можна записати так:

${\displaystyle f(x)=sign(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}-\theta )}$

Навчання елементарного перцептрона полягає у зміні вагових коефіцієнтів ${\displaystyle w_{i}}$ зв'язків A-R. Ваги зв'язків S-A (які можуть приймати значення (-1; 0; 1)) і значення порогів A-елементів вибираються випадковим чином на самому початку і потім не змінюються. (Опис алгоритму див. нижче.)

Після навчання перцептрон готовий працювати в режимі розпізнавання^[11] або узагальнення.^[12] У цьому режимі перцептрону пред'являються раніше невідомі йому об'єкти, й він повинен встановити, до якого класу вони належать. Робота перцептрона полягає в наступному: при пред'явленні об'єкта, збуджені A-елементи передають сигнал R-елементу, що дорівнює сумі відповідних коефіцієнтів ${\displaystyle w_{i}}$. Якщо ця сума позитивна, то ухвалюється рішення, що даний об'єкт належить до першого класу, а якщо вона негативна — то до другого.^[13]

Серйозне ознайомлення з теорією перцептронів вимагає знання базових визначень і теорем, сукупність яких і являє собою базову основу для всіх наступних видів штучних нейронних мереж. Але, як мінімум, необхідно розуміння хоча б з точки зору теорії сигналів, що є оригінальним, тобто описане автором перцептрону Ф. Розенблатом.

Для початку визначмо складові елементи перцептрона, які є частковими випадками штучного нейрону з пороговою функцією передачі.

• Простим S-елементом (сенсорним) є чутливий елемент, який від дії будь-якого з видів енергії (наприклад, світла, звуку, тиску, тепла тощо) виробляє сигнал. Якщо вхідний сигнал перевищує певний поріг θ, на виході елемента отримуємо +1, в іншому випадку — 0.^[14]
• Простим A-елементом (асоціативним) називається логічний елемент, який дає вихідний сигнал +1, коли алгебраїчна сума його вхідних сигналів дорівнює або перевищує деяку граничну величину θ (кажуть, що елемент Активний), в іншому випадку вихід дорівнює нулю.^[14]
• Простим R-елементом (таким, що реагує, тобто діє) називається елемент, який видає сигнал +1, якщо сума його вхідних сигналів є суворо додатною, і сигнал −1, якщо сума його вхідних сигналів є суворо від'ємною. Якщо сума вхідних сигналів дорівнює нулю, вихід вважається або рівним нулю, або невизначеним.^[14]

Якщо на виході будь-якого елемента ми отримуємо 1, то кажуть, що елемент активний або збуджений.

Всі розглянуті елементи називаються простими, тому що вони реалізують стрибкоподібні функції. Розенблат стверджував, що для розв'язання складніших завдань можуть знадобитися інші види функцій, наприклад, лінійна^[15].

В результаті Розенблат ввів такі визначення:

• Перцептрон являє собою мережу, що складається з S-, A- та R-елементів, зі змінною матрицею взаємодії W (елементи якої ${\displaystyle w_{ij}}$ — вагові коефіцієнти), що визначається послідовністю минулих станів активності мережі^[15][16].
• Перцептроном з послідовними зв'язками називається система, в якій всі зв'язки, що починаються від елементів з логічною відстанню d від найближчого S-елементу, закінчуються на елементах з логічною відстанню d+1 від найближчого S-елементу^[16].
• Простим перцептроном називається будь-яка система, що задовольняє наступні п'ять умов:

1. в системі є лише один R-елемент (природно, він пов'язаний з усіма A-елементами);
2. система являє собою перцептрон з послідовними зв'язками, що йдуть лише від S-елементів до A-елементів, та від A-елементів до R-елементів;
3. ваги всіх зв'язків від S-елементів до A-елементів (S-A зв'язків) незмінні;
4. час передачі кожного зв'язку дорівнює або нулю, або сталій величині ${\displaystyle \tau }$;
5. всі функції активації S-, A-, R-елементів мають вигляд ${\displaystyle U_{i}(t)=f(a_{i}(t))}$, де ${\displaystyle a_{i}(t)}$ — алгебраїчна сума всіх сигналів, що надходять одночасно на вхід елемента ${\displaystyle u_{i}}$^[15][17]

• Елементарним перцептроном називається простий перцептрон, у котрого всі елементи — прості. У цьому випадку його функція активації має вигляд ${\displaystyle c_{ij}(t)=U_{i}(t-\tau )w_{ij}(t)}$.^[18]

Додатково можна вказати на такі концепції, запропоновані в книзі, та пізніше розвинені в рамках теорії нейронних мереж:

• Перцептрон із перехресними зв'язками^[ru] — це система, в якій існують зв'язки між елементами одного типу (S, A або R), що знаходяться на однаковій відстані від S-елементів, причому всі інші зв'язки — послідовного типу.^[16]
• Перцептрон зі зворотним зв'язком^[ru] — це система, в якій існує хоча б один зв'язок від логічно віддаленішого елемента до менш віддаленого.^[16] Згідно сучасної термінології такі мережі називаються рекурентними нейронними мережами.
• Перцептрон зі змінними S-A зв'язками^[ru] — це система, в якій знято обмеження на фіксованість зв'язків від S-елементів до A-елементів. Доведено, що шляхом оптимізації S-A зв'язків можна досягти значного поліпшення характеристик перцептрона.^[19]

Марвін Мінський вивчав властивості паралельних обчислень, окремим випадком яких на той час був перцептрон. Для аналізу його властивостей йому довелося перекласти теорію перцептронів на мову предикатів. Суть підходу полягала в ось в чому^{[nb 5][20]}:

• множині сигналів від S-елементів було поставлено у відповідність змінну X;
• кожному A-елементові поставлено у відповідність предикат φ(X) (фі від ікс), названий частинним предикатом;
• кожному R-елементові поставлено у відповідність предикат ψ (псі), що залежить від частинних предикатів;
• нарешті, перцептроном було названо пристрій, здатний обчислювати всі предикати типу ψ.

В «зоровому» перцептроні змінна X символізувала образ будь-якої геометричної фігури (стимул). Частинний предикат дозволяв кожному А-елементові «розпізнавати» свою фігуру. Предикат ψ означав ситуацію, коли лінійна комбінація ${\displaystyle a_{1}\phi _{1}+\ldots +a_{n}\phi _{n}}$ (${\displaystyle a_{i}}$ — коефіцієнти передачі) перевищувала певний поріг θ.

Науковці виділили 5 класів перцептронів, що мають, на їхню думку, цікаві властивості:

1. Перцептрони обмеженого діаметру — кожна фігура X, що розпізнається частинними предикатами, не перевищує за діаметром деяку фіксовану величину.
2. Перцептрони обмеженого порядку — кожен частинний предикат залежить від обмеженої кількості точок з X.
3. Перцептрони Гамба — кожен частинний предикат повинен бути лінійною пороговою функцією, тобто міні-перцептроном.
4. Випадкові перцептрони — перцептрони обмеженого порядку, коли частинні предикати являють собою випадково вибрані булеві функції. В книзі зазначається, що саме цю модель найдокладніше досліджувала група Розенблата.
5. Обмежені перцептрони — множина частинних предикатів нескінченна, а множина можливих значень коефіцієнтів ${\displaystyle a_{i}}$ скінченна.

Хоча такий математичний апарат дозволив застосувати цей аналіз лише до елементарного перцептрону Розенблата, він розкрив багато принципових обмежень для паралельних обчислень, які має кожен вид сучасних штучних нейронних мереж.

Поняття перцептрона має цікаву, але незавидну історію. В результаті нерозвиненої термінології нейронних мереж минулих років, різкої критики та нерозуміння завдань дослідження перцептронів, а іноді й помилкового освітлення пресою, початковий сенс цього поняття було викривлено. Порівнюючи розробки Розенблата та сучасні огляди й статті, можна виділити 4 доволі відособлених класи перцептронів:

Перцептрон з одним прихованим шаром

Це класичний перцептрон, що йому присвячено більшу частина книги Розенблата, і що розглядається в цій статті: у нього є по одному шару S-, A- та R-елементів.

Одношаровий перцептрон

Це модель, у якій вхідні елементи безпосередньо з'єднано з вихідними за допомогою системи ваг. Є найпростішою мережею прямого поширення — лінійним класифікатором, і окремим випадком класичного перцептрона, в якому кожен S-елемент однозначно відповідає одному A-елементові, S-A зв'язку мають вагу +1, і всі A-елементи мають поріг θ = 1. Одношарові перцептрони фактично є формальними нейронами, тобто пороговими елементами Мак-Каллока — Піттса. Вони мають безліч обмежень, зокрема, вони не можуть ідентифікувати ситуацію, коли на їхні входи подано різні сигнали («завдання XOR», див нижче).

Багатошаровий перцептрон Розенблатта

Це перцептрон, в котрому наявні додаткові шари A-елементів. Його аналіз провів Розенблат у третій частині своєї книги.

Багатошаровий перцептрон Румельхарта

Це перцептрон, в котрому наявні додаткові шари A-елементів, причому навчання такої мережі проводиться за методом зворотного поширення помилки, і навчаються всі шари перцептрону (включно з S-A). Є окремим випадком багатошарового перцептрону Розенблата.

У літературі під терміном «перцептрон» найчастіше розуміють одношаровий перцептрон (англ. single-layer_perceptron), причому існує поширена омана, що саме цей найпростіший тип моделей запропонував Розенблат. На противагу одношаровому, ставлять «багатошаровий перцептрон» (англ. multilayer perceptron), знову ж таки, найчастіше маючи на увазі багатошаровий перцептрон Румельгарта, а не Розенблата. Класичний перцептрон у такій дихотомії відносять до багатошарових.

Важливою властивістю будь-якої нейронної мережі є спроможність навчанню. Процес навчання є процедурою налаштування ваг та порогів з метою зменшення різниці між бажаними (цільовими) та отримуваними векторами на виході. У своїй книзі Розенблат намагався класифікувати різні алгоритми навчання перцептрону, називаючи їх системами підкріплення.

Система підкріплення — це будь-який набір правил, на підставі яких можна змінювати з плином часу матрицю взаємодії (або стан пам'яті) перцептрону^[21].

Описуючи ці системи підкріплення і уточнюючи можливі їхні види, Розенблат ґрунтувався на ідеях Дональда Гебба про навчання, запропонованих ним 1949 року, які можна перефразувати у правило, котре складається з двох частин:

• Якщо два нейрони з обох боків синапсу (з'єднання) активізуються одночасно (тобто синхронно), то міцність їх зв’язків зростає.
• Якщо два нейрони з обох боків синапсу активізуються асинхронно, то такий синапс послаблюється або взагалі відмирає.

Класичний метод навчання перцептрону — це метод корекції помилки^[9]. Це вид керованого навчання, при котрому вага зв'язку не змінюється дотих, поки поточна реакція перцептрона залишається правильною. При появі неправильної реакції вага змінюється на одиницю, а знак (+/-) визначається протилежним від знаку помилки.

Припустимо, ми хочемо навчити перцептрон розділяти два класи об'єктів так, щоби при пред'явленні об'єктів першого класу вихід перцептрона був додатний (+1), а при пред'явленні об'єктів другого класу — негативним (-1). Для цього виконаємо такий алгоритм^[6]:

1. Випадково вибираємо пороги для A-елементів та встановлюємо зв'язки S-A (далі вони не змінюватимуться).
2. Початкові коефіцієнти ${\displaystyle w_{i}}$ вважаємо нулевими.
3. Пред'являємо навчальну вибірку: об'єкти (наприклад, кола або квадрати) із зазначенням класу, до якого вони належать.
   • Показуємо перцептронові об'єкт першого класу. При цьому деякі A-елементи збудяться. Коефіцієнти ${\displaystyle w_{i}}$ , що відповідають цим збудженням елементів, збільшуємо на 1.
   • Пред'являємо об'єкт другого класу, і коефіцієнти ${\displaystyle w_{i}}$ тих А-елементів, котрі збудилися при цьому показі, зменшуємо на 1.
4. Обидві частини кроку 3 виконаємо для всієї навчальної вибірки. В результаті навчання сформуються значення вагів зв'язків ${\displaystyle w_{i}}$.

Теорема збіжності перцептрону^[9], описана і доведена Ф. Розенблатом (за участю Блока, Джозефа, Кеста та інших дослідників, які працювали разом з ним), показує, що елементарний перцептрон, навчений за таким алгоритмом, незалежно від початкового стану вагових коефіцієнтів і послідовності появи стимулів завжди приведе до досягнення рішення за скінченний проміжок часу.

Крім класичного методу навчання перцептрону, Розенблат також ввів поняття про некероване навчання, запропонувавши наступний спосіб навчання:

• Альфа-система підкріплення — це система підкріплення, за якої ваги всіх активних зв'язків ${\displaystyle c_{ij}}$, що ведуть до елемента ${\displaystyle u_{j}}$, змінюються на однакову величину r, а ваги неактивних зв'язків за цей час не змінюються.^[22]

Пізніше, з розробкою поняття багатошарового перцептрону, альфа-систему було модифіковано, і її стали називати дельта-правилом. Модифікацію було проведено з метою зробити функцію навчання диференційовною (наприклад, сигмоїдною), що, в свою чергу, потрібно для застосування методу градієнтного спуску, завдяки якому можливе навчання понад одного шару.

Для навчання багатошарових мереж ряд учених, у тому числі Девідом Румельгартом, було запропоновано градієнтний алгоритм керованого навчання, що проводить сигнал помилки, обчислений виходами перцептрона, до його входів, шар за шаром. Зараз це є найпопулярніший метод навчання багатошарових перцептронів. Його перевага в тому, що він може навчити всі шари нейронної мережі, і його легко прорахувати локально. Однак цей метод є дуже довгим, до того ж, для його застосування потрібно, щоб передавальна функція нейронів була диференційовною. При цьому в перцептронах довелося відмовитися від бінарного сигналу, і користуватися на вході неперервними значеннями^[23].

Внаслідок популяризації штучних нейронних мереж журналістами та маркетологами було допущено ряд неточностей, що, при недостатньому вивченні оригінальних робіт з цієї тематики, неправильно тлумачилися молодими (на той час) науковцями. Як результат, досі можна зустрітися з недостатньо глибоким трактуванням функціональних можливостей перцептрона порівняно з іншими нейронними мережами, розробленими у подальші роки.

Найпоширенішою помилкою, пов'язаною з термінологією, є визначення перцептрона як нейронної мережі без прихованих шарів (одношарового перцептрона, див. вище). Ця помилка пов'язана з недостатньо проробленою термінологією в галузі нейромереж на ранньому етапі їхньої розробки. Ф. Воссерменом було зроблено спробу певним чином класифікувати різні види нейронних мереж:

Як видно з публікацій, немає загальноприйнятого способу підрахунку кількості шарів в мережі. Багатошарова мережа складається з множин нейронів і ваг, що чергуються. Вхідний шар не виконує підсумовування. Ці нейрони слугують лише як розгалуження для першої множини ваг, і не впливають на обчислювальні можливості мережі. З цієї причини перший шар не беруть до уваги при підрахунку шарів, і мережа вважається двошаровою, оскільки лише два шари виконують обчислення. Далі, ваги шару вважаються пов'язаними з наступними за ними нейронами. Отже, шар складається з множини ваг з наступними за ними нейронами, що підсумовують зважені сигнали.^[24]

В результаті такого подання перцептрон потрапив під визначення «одношарова нейронна мережа». Частково це вірно, тому що в нього немає прихованих шарів нейронів, які навчаються (ваги яких адаптуються до задачі). І тому всю сукупність фіксованих зв'язків системи з S- до A-елементів, можна логічно замінити набором (модифікованих за жорстким правилом) нових вхідних сигналів, що надходять відразу на А-елементи (усунувши тим самим взагалі перший шар зв'язків). Але тут як раз не враховують те, що така модифікація перетворює нелінійне подання завдання в лінійне.

Тому просте ігнорування шарів із фіксованими зв'язками що не навчаються (в елементарному перцептроні це S-A зв'язки) призводить до неправильних висновків про можливості нейромережі. Так, Мінський вчинив дуже коректно, переформулювавши А-елемент як предикат (тобто функцію); навпаки, Воссермен вже втратив таке подання і у нього А-елемент — просто вхід (майже еквівалентний S-елементу). За такої термінологічної плутанини не береться до уваги той факт, що в перцептроні відбувається відображення рецепторного поля S-елементів на асоціативне поле А-елементів, в результаті чого й відбувається перетворення будь-якої лінійно нероздільної задачі на лінійно роздільну.

Більшість функціональних помилок зводяться до нібито неможливості вирішення перцептроном нелінійно-роздільної задачі. Але варіацій на цю тему досить багато, нижче розглянуто головні з них.

Перцептрон не здатен розв'язати «задачу XOR».

Дуже поширена й найнесерйозніша заява. На ілюстрації праворуч зображено розв'язання цієї задачі перцептроном. Ця помилка виникає, по-перше, через те, що неправильно інтерпретують визначення перцептрона, даного Мінським (див. вище), а саме, предикати відразу прирівнюють до входів, хоча предикат у Мінського — це функція, що ідентифікує цілий набір вхідних значень^{[nb 6]}. По-друге, через те, що класичний перцептрон Розенблата плутають з одношаровим перцептроном (через термінологічні неточності, описані вище).

Слід звернути увагу на те, що «одношаровий перцептрон» у сучасній термінології та «одношаровий перцептрон» в термінології Воссермена є різними об'єктами. І об'єкт, що зображено на ілюстрації, в термінології Воссермена є двошаровим перцептроном.

Варто зазначити, що при реалізації одношарового персептрону можна використати нелінійні функції класифікації. Це розширює його функціональні можливості, не змінюючи структуру. Такий підхід дозволяє зняти частину функціональних обмежень, зокрема, реалізувати логічну функцію XOR^[25].

Вибором випадкових ваг можна досягти навчання розв'язання лінійно нероздільних (взагалі, будь-яких) задач, але тільки якщо пощастить, і в нових змінних (виходах A-нейронів) задача виявиться лінійно роздільною. Проте може й не пощастити.

Теорема збіжності перцептрону^[9] доводить, що немає і не може бути ніякого «може і не пощастити»; при рівності А-елементів кількості стимулів і не особливій G-матриці^[ru] — імовірність рішення дорівнює 100 %. Тобто при відображенні рецепторного поля на асоціативне поле, розмірності більшої на одну, випадковим (нелінійним) оператором, нелінійна задача перетворюється на лінійно роздільну. А наступний шар, що навчається, вже знаходить лінійний розв'язок в іншому просторі входів.

Наприклад, навчання перцептрона для розв'язання «задачі XOR» (див. ілюстрацію) проводиться отак:

Якщо в задачі розмірність входів чимала, а прикладів для навчання мала́, то в такому «слабо заповненому» просторі кількість успіхів може і не виявитися малою. Це свідчить лише про часткову придатність перцептрону, а не про його універсальність.

Цей аргумент легко перевірити на тестовій задачі під назвою «шахівниця» або «губка з водою»:^{[26][nb 7]}

Дано ланцюжок з 2·N одиниць або нулів, що паралельно надходять на входи перцептрону. Якщо цей ланцюжок є дзеркально симетричним відносно центру, то на виході буде 1, інакше — 0. Навчальні приклади — всі (це важливо) ${\displaystyle 2^{2N}}$ ланцюжків.

Можуть бути варіації даної задачі, наприклад:

Візьмімо чорно-біле зображення розміром 256 × 256 елементів (пікселів). Вхідними даними для перцептрона будуть координати точки (8 біт + 8 біт, разом потрібно 16 S-елементів), на виході вимагатимемо отримати колір точки. Навчаємо перцептрон усім точкам (всьому зображенню). В результаті маємо 65 536 різних пар «стимул-реакція». Навчити без помилок.

Якщо цей аргумент справедливий, то перцептрон не зможе ні за яких умов навчитися, не роблячи жодної помилки. Інакше перцептрон не помилиться жодного разу.

На практиці виявляється, що дана задача є дуже простою для перцептрону: щоб її розв'язати, перцептронові достатньо 1 500 А-елементів (замість повних 65 536, необхідних для будь-якої задачі). При цьому кількість ітерацій є порядку 1 000. При 1 000 А-елементах перцептрон не сходиться за 10 000 ітерацій. Якщо ж збільшити кількість А-елементів до 40 000, то сходження можна чекати за 30–80 ітерацій.

Такий аргумент з'являється через те, що дану задачу плутають із задачею Мінського «про предикат „парність“»^[27].

У перцептроні Розенблата стільки А-елементів, скільки входів. І збіжність за Розенблатом — це стабілізація ваг.

У Розенблата читаємо:

Якщо кількість стимулів у просторі W дорівнює n > N (тобто більше кількості А-елементів елементарного перцептрону), то існує деяка класифікація С(W), для якої розв'язку не існує.^[28]

Звідси випливає, що:

1. у Розенблата кількість А-елементів дорівнює кількості стимулів (навчальних прикладів), а не кількості входів;
2. збіжність за Розенблатом — це не стабілізація ваг, а наявність всіх необхідних класифікацій, тобто по суті відсутність помилок.

Якщо вагові коефіцієнти до елементів прихованого шару (А-елементів) фіксовано, то необхідно, щоби кількість елементів прихованого шару (або їхня складність) експоненційно зростала зі зростанням розмірності задачі (кількості рецепторів). Відтак, втрачається їхня основна перевага — здатність розв'язувати задачі довільної складності за допомогою простих елементів.

Розенблатом було показано, що кількість А-елементів залежить лише від кількості стимулів, які треба розпізнати (див. попередній пункт або теорему збіжності перцептрону). Таким чином, якщо кількість А-елементів є фіксованою, то можливість перцептрону до розв'язання задач довільної складності безпосередньо не залежить від зростання кількості рецепторів.

Така помилка походить від наступної фрази Мінського:

При дослідженні предикату «парність» ми бачили, що коефіцієнти можуть зростати зі зростанням |R| (кількості точок на зображенні) експоненційно.^[29]

Крім того, Мінський досліджував і інші предикати, наприклад, «рівність». Але всі ці предикати є достатньо специфічними задачами на узагальнення, а не на розпізнавання або прогнозування. Так, наприклад, щоби перцептрон міг виконувати предикат «парність» — він повинен сказати, парна чи ні кількість чорних точок на чорно-білому зображенні, а для виконання предикату «рівність» — сказати, рівна чи ні права частина зображення лівій. Ясно, що такі задачі виходять за рамки задач розпізнавання та прогнозування, і являють собою задачі на узагальнення або просто на підрахунок певних характеристик. Це і було переконливо показано Мінським, і є обмеженням не лише перцептронів, але й усіх паралельних алгоритмів, які не здатні швидше за послідовні алгоритми обчислити такі предикати.

Тому такі завдання обмежують можливості всіх нейронних мереж і перцептронів зокрема, але це ніяк не пов'язано з фіксованими зв'язками першого шару; тому що, по-перше, мова йшла про величину коефіцієнтів зв'язків другого шару, а по-друге, питання лише в ефективності, а не в принциповій можливості. Тобто, перцептрон можна навчити і цієї задачі, але обсяг пам'яті та швидкість навчання будуть більшими, ніж при застосуванні простого послідовного алгоритму. Введення ж у першому шарі вагових коефіцієнтів, що навчаються, лише погіршить стан справ, бо вимагатиме більшого часу навчання, оскільки змінні зв'язки між S та A швидше перешкоджають, ніж сприяють процесові навчання^[30]. Причому, при підготовці перцептрону до задачі розпізнавання стимулів особливого типу, для збереження ефективності знадобляться особливі умови стохастичного навчання^[31], що було показано Розенблатом в експериментах із перцептроном зі змінними S-A зв'язками^[ru].

Сам Розенблат розглядав перцептрон перш за все як наступний важливий крок у дослідженні та використанні нейронних мереж, а не як завершений варіант «машини, здатної мислити».^{[nb 8]} Ще в передмові до своєї книги він, відповідаючи на критику, відзначав, що «програма з дослідження перцептрона пов'язана головним чином не з винаходом пристроїв, що володіють „штучним інтелектом“, а з вивченням фізичних структур і нейродинамічних принципів»^[32].

Розенблат запропонував ряд психологічних тестів для визначення можливостей нейромереж: експерименти з розрізнення, узагальнення, розпізнавання послідовностей, утворення абстрактних понять, формування та властивостей «самосвідомості», творчості, уяви та інші^[33]. Деякі з цих експериментів далекі від сучасних можливостей перцептронів, тому їхній розвиток відбувається більше філософськи, в межах напряму конекціонізму. Тим не менше, для перцептронів встановлено два важливих факти, що знаходять застосування у практичних задачах: можливість класифікації (об'єктів) і можливість апроксимації (класів і функцій)^[34].

Важливою властивістю перцептроів є їхня здатність до навчання, причому за рахунок досить простого й ефективного алгоритму (див. вище). Останнім часом дослідники починають звертати увагу саме на оригінальну версію перцептрона, оскільки навчання багатошарового перцептрона за допомогою методу зворотного поширення помилки виявило істотні обмеження на швидкість навчання. Спроби навчати багатошаровий перцептрон методом зворотного поширення помилок призводять до експоненційного зростання обчислювальних витрат. Якщо ж користуватися методом прямого поширення^[35], то обчислювальна складність алгоритму навчання стає лінійною. Це дозволяє зняти проблему навчання нейронних мереж із дуже великою кількістю входів та виходів, а також мати довільну кількість шарів мережі перцептронів. Поняття про зняття прокляття розмірності можна прочитати у праці Іванова А. І «Підсвідомість штучного інтелекту: програмування автоматів нейромережевої біометрії мовою їх навчання»^[36].

Сам Розенблат виділив два фундаментальні обмеження для тришарових перцептронів (що складаються з одного S-шару, одного A-шару та R-шару): відсутність у них здатності до узагальнення своїх характеристик на нові стимули або нові ситуації, а також нездатність аналізувати складні ситуації у зовнішньому середовищі шляхом розчленування їх на простіші^[18].

В 1969 році Марвін Мінський та Сеймур Пейперт опублікували книгу «Перцептрони»^[37], де математично показали, що перцептрони, подібні до розенблатівських, принципово не в змозі виконувати багато з тих функцій, котрі хотіли б отримати від перцептронів. До того ж, у той час теорія паралельних обчислень була слабко розвиненою, а перцептрон повністю відповідав принципам таких обчислень. За великим рахунком, Мінський показав перевагу послідовних обчислень перед паралельними в певних класах задач, пов'язаних з інваріантними представленням. Його критику можна розділити на три теми:

1. Перцептрони мають обмеження в задачах, пов'язаних з інваріантним представленням образів, тобто незалежним від їхнього положення на сенсорному полі та положення щодо інших фігур. Такі задачі виникають, наприклад, якщо нам потрібно побудувати машину для читання друкованих літер або цифр так, щоб ця машина могла розпізнавати їх незалежно від положення на сторінці (тобто щоб на рішення машини не впливали перенесення, обертання, розтяг-стиск символів);^[7] або якщо нам потрібно визначити зі скількох частин складається фігура;^[38] або чи знаходяться дві фігури поруч чи ні.^[39] Мінським було доведено, що цей тип задач неможливо повноцінно розв'язати за допомогою паралельних обчислень, у тому числі — перцептрону.
2. Перцептрони не мають функціонального переваги над аналітичними методами (наприклад, статистичними) в задачах, пов'язаних із прогнозуванням.^[40] Тим не менше, в деяких випадках вони представляють простіший і продуктивніший метод аналізу даних.
3. Було показано, що деякі задачі в принципі розв'язувані перцептроном, але вони можуть вимагати нереально великого часу^[41] або нереально великої оперативної пам'яті^[42].

Книга Мінського і Паперті істотно вплинула на розвиток науки про штучний інтелект, тому що змістила науковий інтерес та субсидії урядових організацій США на інший напрямок досліджень — символьний підхід у ШІ.

Перцептрон можна використати, наприклад, для апроксимації функцій, для задачі прогнозування (й еквівалентної їй задачі розпізнавання образів), що вимагає високої точності, та задачі керування агентами, що вимагає високої швидкості навчання.

У практичних задачах від перцептрона вимагатиметься можливість вибору більш ніж з двох варіантів, а отже, на виході в нього має бути більше одного R-елемента. Як показано Розенблатом, характеристики таких систем не відрізняються суттєво від характеристик елементарного перцептрона^[43].

Теорема Цибенка, доведена Джорджем Цибенком 1989 року, стверджує, що штучна нейронна мережа прямого поширення з одним прихованим шаром може апроксимувати будь-яку неперервну функцію багатьох змінних з будь-якою точністю. Умовами є достатня кількість нейронів прихованого шару, вдалий підбір ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2},\dots ,\mathbf {w} _{N},\mathbf {\alpha } ,}$ і ${\displaystyle \mathbf {\theta } }$, де

• ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$ — ваги між вхідними нейронами і нейронами прихованого шару
• ${\displaystyle \mathbf {\alpha } }$ — ваги між зв'язками від нейронів прихованого шару і вихідним нейроном
• ${\displaystyle \mathbf {\theta } }$ — коефіцієнт «упередженості» для нейронів прихованого шару.

У цих завданнях перцептронові потрібно встановити приналежність об'єкта до якогось класу за його параметрами (наприклад, за зовнішнім виглядом, формою, силуетом). Причому, точність розпізнавання багато в чому залежатиме від подання вихідних реакцій перцептронові. Тут можливі три типи кодування: конфігураційне, позиційне та гібридне. Позиційне кодування, за котрого кожному класові відповідає свій R-елемент, дає точніші результати, ніж інші види. Такий тип використано, наприклад, у праці Е. Куссуль та ін. «Перцептрони Розенблата для розпізнавання рукописних цифр». Однак воно є незастосовним у тих випадках, коли кількість класів є значною, наприклад, кілька сотень. У таких випадках можна застосовувати гібридне конфігураційно-позиційне кодування, як це було зроблено у праці Яковлева «Система розпізнавання рухомих об'єктів на базі штучних нейронних мереж».

У теорії штучного інтелекту часто розглядають агентів, що навчаються (адаптуються до довкілля). При цьому в умовах невизначеності стає важливим аналізувати не лише поточну інформацію, а й загальний контекст ситуації, в яку потрапив агент, тому тут застосовують перцептрони зі зворотним зв'язком^[ru][44]. Крім того, в деяких задачах стає важливим підвищення швидкості навчання перцептрона, наприклад, за допомогою моделювання рефрактерності^[45].

Після періоду, відомого як «Зима штучного інтелекту», інтерес до кібернетичним моделей відродився в 1980-х роках, оскільки прихильники символьного підходу в ШІ так і не змогли підібратися до вирішення питань про «Розуміння» і «Значення», через що машинний переклад і технічне розпізнавання образів досі володіють неусувними недоліками. Сам Мінський публічно висловив жаль, що його виступ завдав шкоди концепції перцептронів, хоча книга лише показувала недоліки окремо взятого пристрою та деяких його варіацій. Але в основному ШІ став синонімом символьного підходу, що виражався у складанні все складніших програм для комп'ютерів, що моделюють складну діяльність мозку людини.

Як і більшість інших методик для тренування лінійних класифікаторів, перцептрон природно узагальнюється до багатокласової класифікації^[en]. Тут вхід ${\displaystyle x}$ та вихід ${\displaystyle y}$ постають з довільних множин. Функція представлення ознак ${\displaystyle f(x,y)}$ відображує кожну можливу пару входів/виходів на скінченновимірний дійснозначний вектор ознак. Як і раніше, вектор ознак множиться на ваговий вектор ${\displaystyle w}$, але тепер отримуваний бал використовується для вибору серед багатьох можливих виходів:

${\displaystyle {\hat {y}}=\operatorname {argmax} _{y}f(x,y)\cdot w.}$

Навчання, знов-таки, проходить зразками, передбачуючи вихід для кожного, залишаючи ваги незмінними коли передбачений вихід відповідає цільовому, і змінюючи їх, коли ні. Уточненням стає:

${\displaystyle w_{t+1}=w_{t}+f(x,y)-f(x,{\hat {y}}).}$

Це формулювання багатокласового зворотного зв'язку зводиться до оригінального перцептрону, коли ${\displaystyle x}$ є дійснозначним вектором, ${\displaystyle y}$ обирається з ${\displaystyle \{0,1\}}$, а ${\displaystyle f(x,y)=yx}$.

Для деяких задач можливо обирати представлення входів/виходів та ознаки таким чином, що ${\displaystyle \mathrm {argmax} _{y}f(x,y)\cdot w}$ буде можливо знаходити ефективно, навіть якщо ${\displaystyle y}$ вибирається з дуже великої, або навіть нескінченної множини.

Перцептронове тренування стало популярним в галузі обробки природної мови для таких задач як розмічування частин мови та синтаксичний аналіз^[46].

• Біокомп'ютинг
• Баєсова мережа
• Когнітрон
• Історія штучного інтелекту
• Патерн

1. ↑ «Марк-1», зокрема, був системою, що імітує людське око та його взаємодію з мозком.
2. ↑ «Тришарові» за класифікацією, прийнятою у Розенблата, і «двошарові» за сучасною системою позначень — з тією особливістю, що перший шар не навчається.
3. ↑ В межах символьного підходу працюють над створенням експертних систем, організацією баз знань, аналізом текстів.
4. ↑ Формально A-елементи, як і R-елементи, являють собою суматори з порогом, тобто поодинокі нейрони.
5. ↑ Викладення в цьому розділі спрощено з причини складності аналізу на основі предикатів.
6. ↑ Предикат є еквівалентним входові лише в окремому випадку — лише коли він залежить від одного аргументу.
7. ↑ М. М. Бонгард^[ru] вважає цю задачу найскладнішою для проведення гіперплощини у просторі рецепторів.
8. ↑ На перших етапах розвитку науки про штучний інтелект її задача розглядалася в абстрактному сенсі — створення систем, що нагадують за розумом людину (див. Штучний загальний інтелект). Сучасні формулювання задач в ШІ є, як правило, точнішими.

• Бонгард М. М.^[ru]. Проблема узнавания. — М. : Наука, 1967. — 320 с. (рос.)
• Брюхомицкий, Ю. А. Нейросетевые модели для систем информационной безопасности: Учебное пособие. — Таганрог : Изд-во ТРТУ, 2005. — 160 с. (рос.)
• Мак-Каллок, У. С., Питтс, В.^[en]. Логическое исчисление идей, относящихся к нервной активности // Автоматы : сб.. — М., 1956. — С. 363—384. (рос.)
• Минский, М., Пейперт, С. Персептроны = Perceptrons. — М. : Мир, 1971. — 261 с. (рос.)
• Розенблатт, Ф. Принципы нейродинамики: Перцептроны и теория механизмов мозга = Principles of Neurodynamic: Perceptrons and the Theory of Brain Mechanisms. — М. : Мир, 1965. — 480 с. (рос.)
• Уоссермен, Ф. Нейрокомпьютерная техника: Теория и практика = Neural Computing. Theory and Practice. — М. : Мир, 1992. — 240 с. — ISBN 5-03-002115-9. (рос.)
• Хайкин, С. Нейронные сети: Полный курс = Neural Networks: A Comprehensive Foundation. — 2-е изд. — М. : «Вильямс», 2006. — 1104 с. — ISBN 0-13-273350-1. (рос.)
• Яковлев С. С. Система распознавания движущихся объектов на базе искусственных нейронных сетей // ИТК НАНБ. — Минск, 2004. — С. 230—234. (рос.)
• Kussul E., Baidyk T., Kasatkina L., Lukovich V. Перцептроны Розенблатта для распознавания рукописных цифр // IEEE. — 2001. — С. 1516—1520. (англ.)
• Stormo G. D., Schneider T. D., Gold L., Ehrenfeucht A. Использование перцептрона для выделения сайтов инициации в E. coli // Nucleic Acids Research. — 1982. — С. P. 2997–3011. (англ.)

• Перцептрон. Virtual Laboratory Wiki. Архів оригіналу за 19 серпня 2011. Процитовано 17 січня 2009. {{cite web}}: Cite має пустий невідомий параметр: |description= (довідка) (рос.)
• Появление перцептрона. Архів оригіналу за 19 серпня 2011. Процитовано 17 січня 2009. (рос.)
• Ежов А. А., Шумский С. А. (2006). Нейрокомпьютинг и его применения в экономике и бизнесе. ИНТУИТ. Архів оригіналу за 19 серпня 2011. Процитовано 17 січня 2009. {{cite web}}: Cite має пустий невідомий параметр: |description= (довідка) (рос.)
• Редько В. Г. (1999). Искусственные нейронные сети. Архів оригіналу за 19 серпня 2011. Процитовано 17 січня 2009. (рос.)
• Яковлев С. С. (2006). Линейность и инвариантность в искусственных нейронных сетях. Архів оригіналу (pdf) за 19 серпня 2011. Процитовано 17 січня 2009. (рос.)
• Estebon, M. D.; Tech, V. (1997). Perceptrons: An Associative Learning Network (англ.). Архів оригіналу за 19 серпня 2011. Процитовано 17 січня 2009. (англ.)
• Беркинблит М. Б. (1993). Нейронные сети. Глава "Перцептроны и другие обучающиеся классификационные системы". Архів оригіналу за 19 серпня 2011. Процитовано 17 січня 2009. (рос.)
• SergeiAlderman-ANN.rtf [Архівовано 26 березня 2010 у Wayback Machine.]
• Flood: An Open Source Neural Networks C++ Library [Архівовано 5 жовтня 2011 у Wayback Machine.]
• Chapter 3 Weighted networks - the perceptron [Архівовано 24 серпня 2007 у Wayback Machine.] and Chapter 4 Perceptron learning [Архівовано 24 серпня 2007 у Wayback Machine.] of Neural Networks - A Systematic Introduction [Архівовано 22 січня 2016 у Wayback Machine.] by Raúl Rojas (ISBN 978-3-540-60505-8) (англ.)
• Pithy explanation of the update rule [Архівовано 31 жовтня 2008 у Wayback Machine.] by Charles Elkan (англ.)
• C# implementation of a perceptron
• History of perceptrons [Архівовано 14 січня 2009 у Wayback Machine.] (англ.)
• Mathematics of perceptrons [Архівовано 28 жовтня 2008 у Wayback Machine.] (англ.)
• Perceptron demo applet and an introduction by examples (англ.)