Плюрісубгармонічна функція

Плюрісубгармнонічна функція — дійснозначна функція ${\displaystyle u=u({\vec {z}})}$, від ${\displaystyle n}$ комплексних змінних ${\displaystyle {\vec {z}}=(z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})}$ в області ${\displaystyle D}$ комплексного простору ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, яка задовольняє таким умовам:

1. ${\displaystyle u(z)}$ є напівнеперервною зверху усюди в ${\displaystyle D}$;
2. ${\displaystyle u(z_{0}+\lambda a)}$ є субгармонічною функцією змінної ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ в кожній зв'язаній компоненті відкритої множини ${\displaystyle \{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\}}$ для будь-яких фіксованих точок ${\displaystyle z_{0}\in D}$, ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n}}$.

Функція ${\displaystyle v(z)}$ називається плюрісупергармонічною функцією, якщо ${\displaystyle -v(z)}$ є плюрісубгармнонічною функцією.

${\displaystyle \ln |f(z)|}$, ${\displaystyle |f(z)|^{p}}$ при ${\displaystyle p\geqslant 0}$, де ${\displaystyle f(z)}$ — голоморфна функція в ${\displaystyle D}$.

• Плюрісубгармонічні функції є субгармонічними, але обернене твердження є вірним лише при ${\displaystyle n=1.}$
• Для того щоб напівнеперервна зверху в області D функція u була плюрісубгармонічною, необхідно і достатньо, щоб для будь-яких фіксованих, ${\displaystyle z,a\in \mathbb {C} ^{n},\;|a|=1}$ існувало число ${\displaystyle \epsilon =\epsilon (z,a)>0}$ таке, що при ${\displaystyle 0<r<\epsilon }$ виконується нерівність:

${\displaystyle u(z)\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(z+r\mathrm {e} ^{i\theta }a)\,d\theta ,}$

• Для функцій ${\displaystyle u(z),}$ що належать класу ${\displaystyle C^{2}(D),\;}$ ${\displaystyle u(z)}$ є плюрігармонічною в D тоді і тільки тоді, коли ермітова форма:

${\displaystyle H_{z,u}(a,{\bar {a}})=\sum _{k,l=1}^{n}{\partial ^{2}u \over \partial z_{k}\partial {\bar {z}}_{l}}a_{k}{\bar {a}}_{l}}$

є невід'ємно означеною для всіх ${\displaystyle z\in D.}$

Крім загальних властивостей субгармонічних функцій, для плюрісубгармонічних функцій справедливі наступні:

• ${\displaystyle u(z)}$ є плюрісубгармонічною функцією в області ${\displaystyle D}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle u(z)}$ — плюрісубгармонічна функція в околі кожної точки ${\displaystyle z\in D}$;
• Лінійна комбінація плюрісубгармонічних функцій з додатними коефіцієнтами є плюрісубгармонічною функцією;
• Границі рівномірно збіжної і монотонно спадної послідовностей плюрісубгармонічних функцій є плюрісубгармонічними;
• Для будь-якої точки ${\displaystyle z_{0}\in D}$ середнє значення

${\displaystyle \oint \limits _{S_{r}(z_{0})}u}$

по сфері радіуса ${\displaystyle r}$, є зростаючою функцією по ${\displaystyle r}$, опуклою щодо ${\displaystyle \ln r}$ на відрізку ${\displaystyle 0<r<R}$, якщо куля ${\displaystyle B_{R}(z_{0})}$ повністю розміщена в ${\displaystyle D}$;

• При голоморфних відображеннях плюрісубгармонічна функція переходить в плюрісубгармонічну;
• Якщо ${\displaystyle u(z)}$ — неперервна плюрісубгармонічна функція в області ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ — замкнута зв'язана аналітична підмножина ${\displaystyle D}$ і звуження ${\displaystyle u|_{E}}$ досягає максимуму на ${\displaystyle E}$, то ${\displaystyle u(z)=\mathrm {const} }$ на ${\displaystyle E}$;
• Функція ${\displaystyle u(z)}$ є плюрісубгармонічною в області D, тоді і тільки тоді, коли вона є границею спадної послідовності функцій ${\displaystyle \{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$, де ${\displaystyle u_{k}\in C^{\infty }}$ і для відповідних областей виконуються включення ${\displaystyle D_{k}\subset {\bar {D}}_{k}\subset D_{k+1}}$ і також ${\displaystyle \bigcup _{k=1}^{\infty }D_{k}=D.}$

• Плюрігармонічна функція
• Субгармонічна функція

• Gunning, Robert C. (1990), Introduction to Holomorphic of Several Complex Variables. Vol. 1 Function theory, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13308-8.
• Herve, Michel (1971), Analytic and Plurisubharmonic Functions, Lecture Notes in Mathematics, т. 198, Springer-Verlag, ISBN 0-387-05472-3.
• Krantz, Steven G. (1992), Function Theory of Several Complex Variables, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (вид. Second), Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, с. xvi+557, ISBN 0-534-17088-9, MR 1162310, Zbl 776.32001.
• Lelong, Pierre (1969), Plurisubharmonic functions and positive differential forms, Notes on mathematics and its applications, Gordon and Breach.