Позбавлення від знаменників

У математиці метод позбавлення від знаменників, також званий позбавленням від дробів — техніка спрощення рівняння, в якому прирівнюються два вирази, кожен з яких є сумою раціональних виразів, включно зі звичайними дробами.

Розглянемо рівняння

${\displaystyle {\frac {x}{6}}+{\frac {y}{15z}}=1.}$

Найменше спільне кратне двох знаменників ${\displaystyle 6}$ і ${\displaystyle 15z}$ дорівнює ${\displaystyle 30z}$, тому обидві частини множимо на ${\displaystyle 30z}$:

${\displaystyle 5xz+2y=30z.\,}$

Результатом є рівняння без дробів.

Спрощене рівняння не зовсім еквівалентне початковому: коли в останнє рівняння підставити ${\displaystyle y=0}$ і ${\displaystyle z=0}$, обидві частини спрощуються до ${\displaystyle 0}$, тому отримуємо правильну рівність ${\displaystyle 0=0}$. Але така ж заміна, застосована до початкового рівняння, призводить до ${\displaystyle x/6+0/0=1}$, що не має сенсу.

Без втрати загальності^[en] можна вважати, що права частина^[en] рівняння дорівнює 0, оскільки рівняння E₁ = E₂ можна еквівалентно переписати у вигляді E₁ − E₂ = 0.

Отже, нехай рівняння має вигляд

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=0.}$

Першим кроком є визначення спільного знаменника D цих дробів — бажано найменшого спільного знаменника, який є найменшим спільним кратним Q_i.

Це означає, що кожен Q_i є множником D, тому D = R_iQ_i для деякого виразу R_i, який не є дробом. Потім

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{R_{i}Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{D}}\,,}$

за умови, що R_iQ_i не набуває значення 0 — у цьому випадку D також дорівнює 0.

Маємо

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {R_{i}P_{i}}{D}}={\frac {1}{D}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0.}$

За умови, що D не набуває значення 0, останнє рівняння еквівалентне

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0\,,}$

у якому знаменники відсутні.

Як показано вище, слід бути уважним, щоб уникнути сторонніх розв'язків, за яких D перетворюється на нуль.

Розглянемо рівняння

${\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{x(x+2)}}-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}=0.}$

Найменший спільний знаменник дорівнює x(x + 1)(x + 2).

Дотримання методу, описаного вище, приводить до

${\displaystyle (x+2)+(x+1)-x=0.}$

Подальше спрощення дає розв'язок x = −3.

Легко перевірити, що жоден із нулів x(x + 1)(x + 2) — а саме x = 0, x = −1 та x = −2 — не є розв'язком остаточного рівняння, тому хибних розв'язків немає.

• Richard N. Aufmann; Joanne Lockwood (2012). Algebra: Beginning and Intermediate (вид. 3). Cengage Learning. с. 88. ISBN 978-1-133-70939-8.