Потенціальне векторне поле

Потенціальне ве́кторне по́ле, у математиці — векторне поле, яке можна представити як градієнт деякої скалярної функції координат (потенціалу). Необхідною і достатньою умовою потенційності векторного поля є рівність нулю ротора поля.

У фізиці, що має справу з силовими полями, математичну умову потенційності силового поля можна представити як вимогу рівності нулю роботи при переміщенні частинки, на яку діє поле, по замкнутому контуру. Як потенціал поля в цьому випадку можна вибрати роботу з переміщення пробної частинки з деякої довільно вибраної початкової точки в задану точку (за означенням, ця робота не залежить від шляху переміщення). Наприклад, потенційними є статичне електричне поле, а також гравітаційне поле в ньютоновій теорії гравітації.

Нехай у ${\displaystyle n}$-вимірному многовиді (можна навіть з ненульовою внутрішньою кривиною) задана система координат ${\displaystyle u^{1},u^{2},\dots u^{n}}$ і потенціальне векторне поле ${\displaystyle \mathbf {a} }$ з коваріантними координатами ${\displaystyle a_{i}}$, яке представляється градієнтом скалярного потенціалу ${\displaystyle \phi =\phi (u^{1},u^{2},\dots u^{n})}$:

${\displaystyle (1)\qquad a_{i}=\nabla _{i}\phi ={\partial \phi \over \partial u^{i}}}$

Покажемо, що необхідною і достатньою умовою потенційності є рівність нулю ротора поля:

${\displaystyle (2)\qquad ({\text{rot}}\,\mathbf {a} )_{ij}=\nabla _{i}a_{j}-\nabla _{j}a_{i}=0}$

Якщо поле ${\displaystyle \mathbf {a} }$ потенціальне, тобто виконується рівність (1), то при підстановці (1) в (2) одержуємо:

${\displaystyle (2)\qquad ({\text{rot}}\,\mathbf {a} )_{ij}=(\partial _{i}a_{j}-\Gamma _{ij}^{k}a_{k})-(\partial _{j}a_{i}-\Gamma _{ji}^{k}a_{k})=\partial _{i}a_{j}-\partial _{j}a_{i}={\partial ^{2}\phi \over \partial u^{i}\partial u^{j}}-{\partial ^{2}\phi \over \partial u^{j}\partial u^{i}}}$

Але остання різниця дорівнює нулю в силу рівності мішаних похідних.

Нехай тепер у нас задано таке векторне поле, що його ротор скрізь дорівнює нулю, тобто справедлива рівність (2). Спробуємо побудувати для цього векторного поля такий скаляр ${\displaystyle \phi }$, щоб виконувалась рівність (1).

Почнемо з розгляду властивості криволінійних інтегралів. Нехай ми маємо у многовиді криву ${\displaystyle L}$, яка сполучає дві фіксовані точки ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$. Криволінійний інтеграл ${\displaystyle \Phi }$ є функціоналом від кривої ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle (3)\qquad \Phi =\Phi (L)=\int _{L}a_{i}du^{i}}$

Обчислення варіації цього функціонала, проведені в статті Теорема Стокса дають:

${\displaystyle (4)\qquad \delta \Phi =\int \sum _{i<j}({\text{rot}}\,\mathbf {a} )_{ji}\,d\sigma ^{ij}=0}$

Оскільки ротор за умовою скрізь дорівнює нулю, то і варіація функціонала (3) теж дорівнює нулю — отже цей функціонал є константою, яка на залежить від кривої (при фіксованих кінцях кривої ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$). Отже криволінійний інтеграл (3) є просто функцією від двох точок — кінців кривої ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle (5)\qquad \Phi =\Phi (P,Q)}$

Зафіксуємо одну із точок многовиду, нехай для визначеності, це буде початок системи координат ${\displaystyle O}$, тоді ми матимемо таке скалярне поле:

${\displaystyle (6)\qquad \phi =\phi (P)=\Phi (O,P)}$

Нам тепер треба лише показати, що градієнт цього поля дорівнює ${\displaystyle \mathbf {a} }$.
Розглянемо дві близькі точки ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle {\tilde {P}}}$. Проведемо з початку координат криву ${\displaystyle L}$ до точки ${\displaystyle P}$, а потім продовжимо цю криву коротким відрізком ${\displaystyle \Delta L}$, що іде від точки ${\displaystyle P}$ до точки ${\displaystyle P'}$. Продовжена крива ${\displaystyle {\tilde {L}}=L+\Delta L}$ сполучає початок координат з точкою ${\displaystyle {\tilde {P}}}$. Отже:

${\displaystyle (7)\qquad \phi ({\tilde {P}})=\Phi (O,P)+\Phi (P,{\tilde {P}})=\phi (P)+\int _{\Delta L}a_{i}du^{i}}$

і ми можемо записати приріст функції ${\displaystyle \phi }$ через інтеграл по відрізку:

${\displaystyle (8)\qquad \Delta \phi =\int _{\Delta L}\sum _{i=1}^{n}a_{i}du^{i}}$

Розглянемо координати точки ${\displaystyle P=(u^{1},u^{2},\dots u^{n})}$. Нехай точка ${\displaystyle {\tilde {P}}}$ відрізняється від неї лише однією (хай першою) координатою ${\displaystyle {\tilde {P}}=(u^{1}+\Delta u^{1},u^{2},\dots u^{n})}$, а решта координат зафіксовані. Тоді в інтегралі (8) (по відрізку вздовж першої координати) буде відмінний від нуля лише диференціал першої координати ${\displaystyle du^{1}}$ і ми одержимо простий визначений інтеграл

${\displaystyle (9)\qquad \Delta \phi =\int _{u^{1}}^{u^{1}+\Delta u^{1}}a_{1}du^{1}\approx a_{1}\Delta u^{1}}$

Поділивши асимптотичну рівність (9) на ${\displaystyle \Delta u^{1}}$ і переходячи до границі, маємо:

${\displaystyle (10)\qquad {\partial \phi \over \partial u^{1}}=a_{1}}$

і аналогічно для решти координат. Формулу (1) доведено.

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• А. Д. Тевяшев, О. Г. Литвин, Г. М. Кривошеєва, Л. В. Обухова, О. Г. Середа [Вища математика у прикладах та задачах.] Частина 2. Інтегральне числення функцій однієї змінної. Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних. Стор. 263. Харків:2002.
• Академія наук Української РСР. Фізико-математичні та технічні науки. Серія А. Випуски 1—6. Стор. 49-50. Київ:«Наукова думка», 1990.