Похідна зображення

Похідні́ зобра́ження (англ. image derivatives) можливо обчислювати за допомогою маленьких згорткових фільтрів розміром 2 × 2 чи 3 × 3, таких як оператори Лапласа^[en], Собеля, Робертса чи Прюітт.^[1] Проте більша маска загалом даватиме краще наближення похідної, й прикладами таких фільтрів є гауссові похідні^[2] та фільтри Ґабора.^[3] Іноді потрібно видаляти високочастотний шум, і це може бути включено до фільтра, так, що гауссове ядро діятиме як смуговий фільтр.^[4] Застосування фільтрів Ґабора^[5] в обробці зображень було вмотивовано деякою їхньою подібністю до сприйняття в зоровій системі людини.^[6]

Це піксельне значення обчислюється як згортка

${\displaystyle p'_{u}=\mathbf {d} \ast G}$

де ${\displaystyle \mathbf {d} }$ — ядро похідної, ${\displaystyle G}$ — значення пікселів в області зображення, а ${\displaystyle \ast }$ — оператор, який виконує згортку.

Ядра похідних, відомі як оператор Собеля, визначають наступним чином, для напрямів ${\displaystyle u}$ та ${\displaystyle v}$ відповідно:

${\displaystyle p'_{u}={\begin{bmatrix}+1&+2&+1\\0&0&0\\-1&-2&-1\end{bmatrix}}*\mathbf {G} \quad }$ і ${\displaystyle \quad p'_{v}={\begin{bmatrix}+1&0&-1\\+2&0&-2\\+1&0&-1\end{bmatrix}}*\mathbf {G} }$

де ${\displaystyle *}$ тут позначує операцію двовимірної згортки.

Цей оператор роздільний, і його може бути розкладено як добуток ядер інтерполювання та диференціювання, так, що ${\displaystyle p'_{v}}$, наприклад, можливо записати як

${\displaystyle {\begin{bmatrix}+1&0&-1\\+2&0&-2\\+1&0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}+1&0&-1\end{bmatrix}}}$

Фарид і Сімончеллі^[7][8] пропонують використовувати пару ядер, одне для інтерполювання, а інше для диференціювання (порівняйте з Собелем вище). Ці ядра, фіксованих розмірів 5 x 5 та 7 x 7, оптимізовано таким чином, що перетворення Фур'є наближує їхній правильний зв'язок із похідною.

У коді Matlab так званим 5-вентильним фільтром є

k  = [0.030320  0.249724  0.439911  0.249724  0.030320];
d  = [0.104550  0.292315  0.000000 -0.292315 -0.104550];
d2 = [0.232905  0.002668 -0.471147  0.002668  0.232905];

А 7-вентильним фільтром є

k  = [ 0.004711  0.069321  0.245410  0.361117  0.245410  0.069321  0.004711];
d  = [ 0.018708  0.125376  0.193091  0.000000 -0.193091 -0.125376 -0.018708];
d2 = [ 0.055336  0.137778 -0.056554 -0.273118 -0.056554  0.137778  0.055336];

Як приклад, похідні першого порядку можливо обчислювати наступним, з використанням Matlab, щоби виконувати згортку

Iu = conv2(d, k, im, 'same');  % похідна по вертикалі (wrt Y)
Iv = conv2(k, d, im, 'same');  % похідна по горизонталі (wrt X)

Слід зазначити, що Фарид і Сімончеллі вивели коефіцієнти першої похідної, точніші порівняно з наданими вище. Проте останні узгоджуються з інтерполятором другої похідної, й відтак їх краще використовувати, якщо шукають як першу, так і другу похідні. У протилежному випадку, коли потрібна лише перша похідна, слід використовувати оптимальні коефіцієнти першої похідної; більше деталей можливо знайти в їхній статті.

Фільтри похідних на основі довільних кубічних сплайнів було запропоновано Гастом.^[9] Він показав, як можливо правильніше обчислювати похідні як першого, так і другого порядків, за допомогою кубічних або тригонометричних сплайнів. Щоби похідна обчислювалася для центрального пікселя, ефективним фільтрам похідних потрібно мати непарну довжину. Проте будь-який кубічний фільтр допасовується до 4 ви́біркових точок, даючи центр між пікселями. Це розв'язується за допомогою підходу подвійного фільтрування, що дає фільтри розміром 7 x 7. Ідея в тому, щоби спершу фільтрувати інтерполяцією, отримуючи таким чином інтерпольовані значення між пікселями, після чого повторювати процедуру з використанням похідних фільтрів, де центральне значення тепер припадає на центри пікселів. Це легко довести за допомогою асоціативного закону для згортки

${\displaystyle p'_{u}=\mathbf {d} \ast (\mathbf {k} \ast G)=(\mathbf {d} \ast \mathbf {k} )\ast G}$

Отже, ядром згортки для обчислення похідної ${\displaystyle \mathbf {k_{d}} }$ з використанням інтерполювального ядра ${\displaystyle \mathbf {k} }$ та ядра похідної ${\displaystyle \mathbf {d} }$ стає

${\displaystyle \mathbf {k_{d}} =\mathbf {d} \ast \mathbf {k} }$

Також майте на увазі, що згортка комутативна, тому порядок цих двох ядер неважливий, і також можливо вставити похідну другого порядку, як і ядро похідної першого порядку. Ці ядра виводять з того факту, що будь-яку сплайнову поверхню можливо допасувати над квадратною областю пікселів, порівняйте з поверхнями Безьє. Гаст доводить, що таку поверхню можливо виконувати як роздільну згортку

${\displaystyle p(u,v)=\mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} =M^{T}\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ^{T}M\ast G}$

де ${\displaystyle M}$ — матриця сплайнової основи, а ${\displaystyle \mathbf {u} }$ та ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — вектори, що містять змінні ${\displaystyle u}$ та ${\displaystyle v}$, як-от

${\displaystyle \mathbf {u} =[u^{3},u^{2},u,1]^{T}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =[v^{3},v^{2},v,1]^{T}}$

Тепер можливо встановити ядра згортки в

${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {u} ^{T}M=(M^{T}\mathbf {v} )^{T}}$

${\displaystyle \mathbf {d} ={\frac {\partial \mathbf {u} ^{T}}{\partial u}}M=\left(M^{T}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial v}}\right)^{T}}$

${\displaystyle \mathbf {d^{2}} ={\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} ^{T}}{\partial u^{2}}}M=\left(M^{T}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {v} }{\partial v^{2}}}\right)^{T}}$

Похідні першого порядку в центральному пікселі відтак обчислюють як

${\displaystyle D_{u}={\frac {\partial \mathbf {u} ^{T}}{\partial u}}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}\mathbf {v} =\mathbf {d} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {k} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G}$

і

${\displaystyle D_{v}=\mathbf {u} ^{T}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial v}}=\mathbf {k} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {d} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G}$

Так само, ядрами похідної другого порядку є

${\displaystyle D_{u}^{2}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} ^{T}}{\partial u^{2}}}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}\mathbf {v} =\mathbf {d^{2}} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {k} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G}$

і

${\displaystyle D_{v}^{2}=\mathbf {u} ^{T}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {v} }{\partial v^{2}}}=\mathbf {k} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {d^{2}} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G}$

Кубічносплайновий фільтр оцінюють у його центрі ${\displaystyle u=v=0.5}$, й відтак

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} =[(0.5)^{3},(0.5)^{2},0.5,1]^{T}=[0.125,0.25,0.5,1]^{T}}$

Подібним чином, похідними першого порядку стають

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} (0.5)}{\partial u}}={\frac {\partial \mathbf {v} (0.5)}{\partial v}}=[3\cdot (0.5)^{2},2\cdot (0.5),1,0]^{T}=[0.75,1,1,0]^{T}}$

І подібним же чином похідними другого порядку є

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {u} (0.5)}{u^{2}}}={\frac {d^{2}\mathbf {v} (0.5)}{dv^{2}}}=[6\cdot (0.5),2,0,0]^{T}=[3,2,0,0]^{T}}$

Для обчислення похідних зображення за допомогою наведених вище рівнянь можливо застосовувати й використовувати будь-який кубічний фільтр, як-от Безьє, Ерміта, чи B-сплайни.

У наведеному нижче прикладі мовою Matlab для обчислення похідних використано сплайн Кетмелла — Рома

M = [1,-3,3,-1; -1,4,-5,2; 0,1,0,-1; 0,0,2,0] * 0.5;
u = [0.125;0.25;0.5;1];
up = [0.75;1;1;0];
d = up'*M;
k = u'*M;
Iu = conv2(conv(d,k), conv(k,k), im,'same');  % вертикальна похідна (wrt Y)
Iv = conv2(conv(k,k), conv(d,k), im,'same');  % горизонтальна похідна (wrt X)

Для обчислення похідних можливо використовувати керовані фільтри.^[10] Крім того, Савицький та Голей^[11] пропонують підхід^[en] поліномного згладжування методом найменших квадратів, який можливо використовувати для обчислення похідних, а Луо зі співавт.^[12] обговорюють цей підхід докладніше. Шарр^[13][14][15] показує, як створювати фільтри похідних шляхом мінімізації похибки в області Фур'є, а Єне зі співавт.^[16] докладніше обговорюють принципи проєктування фільтрів, включно з фільтрами похідних.

• derivative5.m Фарид і Сімончеллі: 5-вентильні перша та друга дискретні похідні.
• derivative7.m Фарид і Сімончеллі: 7-вентильні перша та друга дискретні похідні
• kernel.m Гаст: 1-а та 2-га дискретні похідні для кубічних сплайнів, сплайнів Кетмелла — Рома, сплайнів Безьє, B-сплайнів, та тригонометричних сплайнів.