Проєктивна площина

У математиці проєктивна площина — це геометрична структура, яка розширює поняття площини. На звичайній евклідовій площині дві прямі перетинаються в одній точці, але є деякі пари прямих (названі паралельними прямими), які не перетинаються. Проєктивну площину можна розглядати як звичайну площину, яка має додаткові «точки на нескінченності», в яких паралельні прямі перетинаються. Множина всіх "нескінчено відалених" точок складає "нескічено віддалену" пряму. Проективна геометрія починається, коли ми "забуваємо" про "нескінченість" цих точок, і поводимося з ними, як із звичайними точками. Таким чином, будь-які дві різні прямі в проєктивній площині перетинаються в одній і лише одній точці.

Художники ренесансу, розвиваючи техніку малювання в перспективі, заклали основу цього математичного напрямку. Архетипним прикладом є дійсна проєктивна площина, також відома як розширена евклідова площина.^[1] Цей приклад, у дещо іншому вигляді, є важливим поняттям в алгебричній геометрії, топології і проєктивній геометрії, де вона може позначатися по-різному: PG(2, R), RP², або P₂(R) та ін. Існує багато інших проєктивних площин, наприклад, нескінченна комплексна проєктивна площина і скінченна площина Фано.

Проєктивна площина є двовимірним проєктивним простором, але не всі проєктивні площини можуть вбудовуватися в тривимірний простір (див. Теорема Дезарга).

Проєктивна площина складається з набору прямих, набору точок і зв'язків між прямими і точками, які називаються інциденціями, які мають такі властивості:

Друга умова означає, що не існує паралельних прямих. Остання умова виключає так звані вироджені випадки. Термін «інциденція» використовують, аби підкреслити симетричну природу зв'язків між точками і прямими. Таким чином, вислів «точка P є інцидентною прямій l» використовують замість вислову "P лежить на l " або «l проходить через P».

• Дійсна проєктивна площина
• Лінійний простір (геометрія)
• Проєктивно розширена числова пряма