Прямий круговий циліндр

Прямий круговий циліндр — це циліндр, твірні якого перпендикулярні до основ. Таким чином, у прямому круговому циліндрі твірна і висота мають однакові розміри^[1]. Його також називають циліндром обертання, оскільки його можна отримати обертанням прямокутника зі сторінами ${\displaystyle r}$ і ${\displaystyle g}$ навколо однієї з його сторін. Закріпивши ${\displaystyle g}$ як сторону, навколо якої відбувається обертання, ми отримуємо, що сторона ${\displaystyle r}$, перпендикулярна до ${\displaystyle g}$, буде радіусом циліндра^[2].

Окрім прямого кругового циліндра, існує також похилий круговий циліндр, який характеризується відсутністю твірних, перпендикулярних до основ^[3].

Прикладами об’єктів, які мають форму правильного круглого циліндра, є деякі банки та свічки.

Основи: два паралельних і рівних кола^[4];

Вісь: пряма, визначена двома центрами основ циліндра^[1];

Висота: відстань між двома площинами основ циліндра^[2];

Твірні (гератриси): відрізки, що паралельні осі і закінчуються в точках кіл основ^[2].

Бічна поверхня прямого циліндра складається з твірних^[3]. Її площу можна отримати шляхом добутку довжини кола основи на висоту циліндра. Отже, площа бічної поверхні визначається як:

• ${\textstyle S_{0}=2\pi rh}$^[2].

• ${\displaystyle S_{0}\,}$ – площа бічної поверхні циліндра;
• ${\displaystyle \pi \,}$ становить приблизно 3,14;
• ${\displaystyle r\,}$ – відстань між бічною поверхнею циліндра та віссю, тобто значення радіуса основи;
• ${\displaystyle h\,}$ – висота циліндра;
• ${\displaystyle 2\pi r}$ — довжина кола основи, оскільки ${\displaystyle \pi ={\frac {C}{2r}}}$, тобто, ${\displaystyle C=2\pi r}$^[5].

Зауважте, що у випадку прямого кругового циліндра висота й твірна мають однакові розміри, тому бічна площа також може бути задана за формулою:

• ${\displaystyle S_{0}=2\pi rg}$.

Площа основи циліндра дорівнює площі круга (в цьому випадку ми покладемо, що круг має радіус ${\displaystyle r}$ ):

• ${\displaystyle S_{1}=\pi r^{2}}$.

Щоб обчислити загальну площу прямого кругового циліндра, потрібно просто додати площу бічної сторони до площі двох основ:

• ${\displaystyle S=S_{0}+2\cdot S_{1}}$.

Заміна ${\displaystyle S_{0}=2\pi rh}$ і ${\displaystyle S_{1}=\pi r^{2}}$, ми маємо:

• ${\displaystyle S=2\pi rh+2\pi r^{2}}$ ${\displaystyle \Rightarrow S=2\pi r(h+r)}$

або навіть

• ${\displaystyle S=2\pi r(g+r)}$.

Відповідно да принципа Кавальєрі, який визначає, що якщо два тіла однакової висоти з конгруентними площами основи розташованими на одній площині перетинає будь-яка інша площина, паралельна цій площині, вона утворює як перерізи два багатокутники з однаковими площами^[6], тому об’єми двох тіл будуть однаковими. Використовуючи цей факт, можна визначити об’єм циліндра.

Об’єм циліндра можна отримати так само, як об’єм призми з тією ж висотою і такою ж площею основи. Тому просто помножте площу основи на висоту:

• ${\displaystyle V=S\cdot h}$.

Оскільки площа круга радіуса ${\displaystyle r\,}$, який є основою циліндра, задається формулою ${\displaystyle S=\pi r^{2}}$, то з цього випливає, що:

• ${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$ ^[2]

або навіть

• ${\displaystyle V=\pi r^{2}g}$ .

Рівносторонній циліндр – це правильний круговий циліндр, у якого діаметр основи дорівнює висоті (твірній)^[4].

Тоді, вважаючи, що радіус основи рівностороннього циліндра дорівнює ${\displaystyle r\,}$, маємо, що діаметр основи цього циліндра дорівнює ${\displaystyle 2r\,}$ а його висота становить ${\displaystyle 2r\,}$^[4].

Його бічну площу можна отримати, замінивши значення висоти на ${\displaystyle 2r}$:

• ${\displaystyle S_{0}=2\pi r\cdot 2r}$${\displaystyle \Rightarrow S_{0}=4\pi r^{2}}$.

Аналогічним чином можна отримати результат для площі всієї поверхні:

• ${\displaystyle S=2\pi r(h+r)}$${\displaystyle \Rightarrow S=2\pi r(2r+r)}$${\displaystyle \Rightarrow S=2\pi r\cdot 3r}$${\displaystyle \Rightarrow S=6\pi r^{2}}$.

Для рівностороннього циліндра можна отримати більш просту формулу для обчислення об’єму. Просто замініть висоту на подвоєний радіус у формулі об’єму прямого кругового циліндра:

• ${\displaystyle V=\pi r^{2}\cdot h}$ ${\displaystyle \Rightarrow V=\pi r^{2}\cdot 2r}$ ${\displaystyle \Rightarrow V=2\pi r^{3}}$.

Осьовий переріз – це перетин площини, що містить вісь циліндра, і циліндра^[4].

У випадку прямого кругового циліндра осьовий переріз є прямокутником, оскільки твірна перпендикулярна до основи. Рівносторонній циліндр має квадратний осьовий переріз, оскільки його висота дорівнює діаметру основи^{[1] [4]}.

• Циліндр
• Геометрія
• Стереометрія

1. ↑ ^{а б в} Giovanni; Giovanni Jr.; Bonjorno (2011). Matemática fundamental: uma nova abordagem.
2. ↑ ^{а б в г д} Conexões com a matemática. 2010.
3. ↑ ^{а б} Paiva (2004). Matemática.
4. ↑ ^{а б в г д} Dolce; Pompeo (2005). Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica.
5. ↑ Dolce; Pompeo (2013). Fundamentos da matemática elementar 9: geometria plana.
6. ↑ Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia (порт.) (вид. 2). São Paulo: Leya.

• Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia (in Portuguese) (2 ed.). São Paulo: Leya.
• Conexões com a matemática (in Portuguese) (1 ed.). São Paulo: Moderna. 2010.
• Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos da matemática elementar 9: geometria plana (in Portuguese) (9 ed.). São Paulo: Atual.
• Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica (in Portuguese). São Paulo: Atual.
• Giovanni, José Ruy; Giovanni Jr., José Ruy; Bonjorno, José Roberto (2011). Matemática fundamental: uma nova abordagem (in Portuguese). São Paulo: FTD.
• Paiva, Manoel (2004). Matemática (in Portuguese) (1 ed.). São Paulo: Moderna.