Підпослідовність

Підпослідовністю ${\displaystyle \left\{x_{n_{k}}\right\}}$ називається послідовність, складена з елементів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ і в якій порядок слідування її елементів збігається з порядком слідування елементів у початковій послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$.
Іншими словами, візьмемо деяку послідовність ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$, …, ${\displaystyle x_{n}}$, … . Візьмемо другу довільну строго зростаючу послідовність натуральних чисел ${\displaystyle k_{1}<k_{2}<k_{3}<\ldots <k_{n}<\ldots }$. Виберемо із послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ елементи з номерами ${\displaystyle k_{1}}$, ${\displaystyle k_{2}}$, ${\displaystyle k_{3}}$, …, ${\displaystyle k_{n}}$, … і розташуємо їх в такому ж порядку як і числа ${\displaystyle k_{n}}$, тоді отримаємо: ${\displaystyle x_{k_{1}}}$, ${\displaystyle x_{k_{2}}}$, ${\displaystyle x_{k_{3}}}$, …, ${\displaystyle x_{k_{n}}}$, … . Це і буде підпослідовність ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ послідовності ${\displaystyle x_{n}}$.

• Будь-яка підпослідовність збіжної послідовності збігається до тієї ж границі.
• Множина часткових границь послідовності — замкнена.
• З будь-якої послідовності можна виділити монотонну підпослідовність.
• З обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
• Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)