Розбиття поверхні

Розбиття поверхні — це метод, що використовується у тривимірній комп'ютерній графіці, який дозволяє створювати гладкі поверхні шляхом послідовного уточнення кусково-лінійної полігональної сітки.

Розбиття використовується для представлення складних форм із використанням простіших базових сіток, які з часом стають все детальнішими та плавнішими.

Метод активно використовується в комп’ютерній графіці, анімації, CAD-системах та інших сферах, де потрібне представлення складних об'єктів із плавними поверхнями. Ідея полягає у тому, що на початковій, грубій полігональній сітці (так званій базовій сітці) послідовно застосовують правила уточнення, які розбивають великі грані на менші, а положення нових і старих вершин коригують для наближення гладкої поверхні. Такий процес можна повторювати багато разів (тобто рекурсивно), отримуючи дедалі більш деталізовану поверхню. Відмінність підроздільних поверхонь від інших методів полягає у тому, що вони дозволяють моделювати складні криволінійні форми, зберігаючи відносну простоту полігональної сітки і можливість редагування.

Загальне уявлення

Район поверхні визначається рекурсивно. Процес починається із заданої полігональної сітки. Потім до цієї сітки застосовується схема уточнення. Цей процес займає сітку і ділить її, створюючи нові вершини і нові грані. Позиції нових вершин в сітці обчислюються на основі позицій сусідніх вершин. У деяких схемах уточнення, позиції старих вершин також можуть бути змінені (на основі позицій нових вершин).

Цей процес виробляє більш дрібну сітку за оригінал, що містить більше полігональних меж. В результаті чого сітка може передаватися через ту саму схему уточнення знову і знову .

Поверхня граничного розбиття — поверхня, отримана з цього процесу, ітераційно може застосовуватися нескінченно багато разів. Однак в практичному використанні цей алгоритм застосовується обмежену кількість разів. Гранична поверхня також може бути обчислена безпосередньо для більшості підрозділів поверхонь із використанням техніки Джоза Стама^[en]^[1], яка усуває необхідність у рекурсивному уточненні. Поєднані поверхні і Т-сплайни є конкуруючими технологіями. Математичні поверхні із розділенням є сплайн-поверхнями з особливостями.^[2]

Схеми уточнення

Схеми удосконалення поверхонь підрозділів можуть бути в широкому сенсі розділені на дві категорії: інтерполяція та апроксимація. Інтерполяційні схеми необхідні, щоб відповідати вихідному положенню вершин у вихідній сітці. Апроксимаційні схеми — навпаки; Вони можуть і будуть коригувати ці позиції в міру необхідності. У цілому, апроксимаційні схеми мають велику гладкість, але редагування додатків, які дозволяють користувачам встановлювати точні поверхневі обмеження, вимагає оптимізації.

Існує ще один підрозділ в схемах розбиття поверхонь — тип полігону, на якому вони працюють. Деякі функції чотирикутників (квадроцикли), в той час як інші працюють на трикутниках.

Апроксимаційні схеми

Апроксимація означає, що граничні поверхні апроксимують початкові сітки і після розбиття новостворені контрольні точки не перебувають на граничних поверхнях. Прикладами схем розбиття є:

Кетмул-Кларк^[en] (1978) узагальнив бі-кубічний рівномірний B-сплайн, щоб зробити його уточнюючу схему. Для довільних початкових сіток, ця схема генерує граничні поверхні, які є безперервними С² всюди, за винятком надзвичайних вершин, де вони є безперервними С¹ (Петерс і Райф 1998).
Ду-Сабін^[en] — Друга схема розбиття була розроблена Ду та Сабіном (1978), яка успішно розширила метод кутового розрізання Чайкіна для кривих поверхонь. Вони використовували аналітичний вираз біквадратичної однорідної поверхні B-сплайнів для створення своєї процедури розбиття для отримання граничних поверхонь С¹ з довільною топологією для довільних початкових сіток.
Loop, Triangles-Loop^[en] (1987) запропонували свою схему розбиття на основі сплайна четвертинного квадрата із шести направленими векторами, щоб забезпечити правило для генерації безперервних поверхонь C² всюди, крім виняткових вершин, де вони безперервні по C¹.
Схема підрозділу середнього краю. Схема підрозділу середнього краю була запропонована незалежно Петерсом-Рейфом (1997) і Хабіб-Уорреном (1999). Перший використовував середню точку кожного ребра, щоб побудувати нову сітку. Останній використовував сплайн з чотирма напрямками для побудови схеми. Ця схема породжує C¹ безперервні граничні поверхні на початкових сітках із довільною топологією.
Схема розбиття √3 — Ця схема була розроблена Коббелтом (Kobbelt, 2000): вона обробляє довільні трикутні сітки, усюди неперервна, крім виняткових вершин, де вона C⁻¹ переривається і при необхідності пропонує природну адаптивну обробку. Схема проявляє дві особливості: це подвійна схема для трикутних сіток та вона має більш повільну швидкість подрібнення, ніж первинна.

Схеми інтерполяції

Після розбиття контрольні точки вихідної сітки і нові згенеровані контрольні точки інтерполюються на граничну поверхню. Найбільш ранньою роботою була схема «метелики» Діна, Левіна і Грегорі (1990), яка розширила чотириточкову інтерполяційну схему розбиття кривих на схему розбиття поверхні. Зорін, Шредер і Свелденс (1996) помітили, що схема «метелики» не може генерувати гладкі поверхні для нерегулярних трикутних сіток і таким чином модифікувала цю схему. Коббальт (1996) додатково узагальнив чотириточкову інтерполяційну схему розбиття кривих на схему розподілу тензорного добутку поверхонь. Ден і Ма (2013) додатково узагальнили чотириточкову інтерполяційну схему розбиття на довільну ступінь.

Метелик, Трикутники — мають таку назву через форму схеми.
Середнє розбиття, Чотирикутники.
Коббальт, Чотирикутники — метод варіаційного розподілу, який намагається подолати рівномірні недоліки підрозділів.
Ден-Ма, Чотирикутники — 2n точкове розбиття, узагальнене на довільну непарну ступінь.^[3]

Редагування поверхні розбиття

Поверхні підрозділу можуть бути природно відредаговані на різних рівнях підрозділу. Починаючи з базових форм, ви можете використовувати бінарні оператори для створення правильної топології. Потім відредагуйте грубу сітку, щоб створити базову фігуру, потім відредагуйте зміщення для наступного кроку поділу, а потім повторіть це на більш тонких рівнях. Ви завжди можете бачити як ваші зміни впливають на граничну поверхню за допомогою оцінки поверхні GPU.

Дизайнер поверхні також може починати з об'єкту сканування або об'єкту створеного з поверхні NURBS. Ті ж самі основні алгоритми оптимізації використовуються для створення грубої базової сітки з правильною топологією, а потім додають деталі на кожному рівні, щоб об'єкт можна було редагувати на різних рівнях. Із такими типами поверхонь може бути важко працювати, тому що базова сітка не має контрольних точок в тих місцях, куди розмістить їх дизайнер. Із відсканованого об'єкта з цією поверхнею легше працювати, ніж із сирою трикутною сіткою, але в об'єкта NURBS, ймовірно, були добре розкладені контрольні точки, які після конверсії поводяться менш інтуїтивно, ніж раніше.

Див. також

Ключові розробки

1978: Поверхні розбиття були виявлені одночасно Едвіном Катмуллом і Джимом Кларком (див. Поверхня розбиття Кетмула-Кларка). У тому ж році Даніель Дуо і Малком Сабін опублікували паперовий макет за цією роботою (див. Поверхня розбиття Ду-Сабіна).
1995: Ульріх Рейф характеризував поверхні поділу поблизу незвичайних вершин^[4] by treating them as splines with singularities.^[5], розглядаючи їх як сплайни з особливостями.
1998: Джос Стам вніс свій внесок в метод точної оцінки поверхонь розбиття Кетмула-Кларка і Loop- розбиття при довільних значеннях параметрів.

Примітки

↑ Peters, J.; Reif, U. (October 1997). The simplest subdivision scheme for smoothing polyhedra. ACM Transactions on Graphics. 16 (4): 420—431. doi:10.1145/263834.263851.
↑ Habib, A.; Warren, J. (May 1999). Edge and vertex insertion for a class C¹ of subdivision surfaces. Computer Aided Geometric Design. 16 (4): 223—247. doi:10.1016/S0167-8396(98)00045-4.
↑ http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2487231
↑ Reif, U. (1995). A unified approach to subdivision algorithms near extraordinary vertices. Computer Aided Geometric Design. 12 (2): 153—201. doi:10.1016/0167-8396(94)00007-F.
↑ Peters, J. R.; Reif, U. (2008). Subdivision Surfaces. Geometry and Computing. 3. doi:10.1007/978-3-540-76406-9. ISBN 978-3-540-76405-2.

Peters, J.; Reif, U. (October 1997). The simplest subdivision scheme for smoothing polyhedra. ACM Transactions on Graphics. 16 (4): 420—431. doi:10.1145/263834.263851.
Habib, A.; Warren, J. (May 1999). Edge and vertex insertion for a class C¹ of subdivision surfaces. Computer Aided Geometric Design. 16 (4): 223—247. doi:10.1016/S0167-8396(98)00045-4.
Kobbelt, L. (2000). √3-subdivision. Proceedings of the 27th annual conference on Computer graphics and interactive techniques - SIGGRAPH '00. с. 103—112. doi:10.1145/344779.344835. ISBN 1-58113-208-5.