Розклад Річчі

У псевдорімановій геометрії розклад Річчі — це розклад тензора кривини Рімана на незвідні щодо ортогональної групи тензорні частини. Цей розклад відіграє важливу роль у рімановій і псевдорімановій геометрії.

Розклад виглядає так:

${\displaystyle R_{abcd}=\,S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.}$

Його елементами є:

1. скалярна частина ${\displaystyle S_{abcd}}$,
2. напівбезслідова частина ${\displaystyle E_{abcd}}$,
3. повністю безслідова частина, має спеціальну назву тензор Вейля, ${\displaystyle C_{abcd}}$.

Кожен елемент має ті ж симетрії, що й тензор кривизни, але також володіє специфічними алгебраїчними властивостями.

Скалярна частина

${\displaystyle S_{abcd}={\frac {R}{(n-1)\,(n-2)}}\,H_{abcd}}$

залежить тільки від скалярної кривини ${\displaystyle R={R^{m}}_{m}}$ (${\displaystyle R_{ab}}$ — тензор Річчі), і метричного тензора ${\displaystyle g_{ab}}$, який комбінується таким чином, щоб дати тензор ${\displaystyle H_{abcd}}$ з симетрією тензора кривизни:

${\displaystyle H_{abcd}=g_{ad}\,g_{cb}-g_{ac}\,g_{db}=2g_{a[d}\,g_{c]b}.}$

Напівбезслідова частина

${\displaystyle E_{abcd}={\frac {1}{n-2}}\,\left(g_{ac}\,R_{bd}-g_{ad}\,R_{bc}+g_{bd}\,R_{ac}-g_{bc}\,R_{ad}\right)={\frac {2}{n-2}}\,\left(g_{a[c}\,R_{d]b}-g_{b[c}\,R_{d]a}\right)}$

виходить аналогічним чином з безслідової частини тензора Річчі

${\displaystyle S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{n}}\,g_{ab}\,R}$

і метричного тензора ${\displaystyle g_{ab}}$.

Тензор Вейля повністю безслідовий у тому сенсі, що його згортка за будь-якою парою індексів дає нуль. Герман Вейль показав, що цей тензор вимірює відхилення псевдоріманового многовиду від конформно-плоского: якщо він звертається в нуль, то многовид локально конформно-еквівалентний плоскому многовиду.

Цей розклад — чисто алгебраїчний і не включає в себе ніяких диференціювань.

У разі Лоренцевого 4-мірного многовиду (наприклад, простору-часу) тензор Ейнштейна ${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-1/2\,g_{ab}R}$ має слід, рівний скалярній кривині з протилежним знаком, так що безслідові частини тензора Ейнштейна та тензора Річчі збігаються

${\displaystyle S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,R=G_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,G.}$

Зауваження щодо термінології: позначення ${\displaystyle R_{abcd},\,C_{abcd}}$ — стандартні, ${\displaystyle S_{ab},\,E_{abcd}}$ — широко поширені, але не загальноприйняті, а тензори ${\displaystyle S_{abcd}}$ і ${\displaystyle H_{abcd}}$ не мають усталених позначень.

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (січень 2015)