Сепаратриса (математика)

У математиці сепаратриса (від англ. separates — окремо) — це межа, що розділяє два режими поведінки, що описуються диференціальними рівняннями.^[1]

Іншими словами:

Сепаратриса — це фазова траєкторія, що розмежовує інші траєкторії різного фазового типу.

Розглянемо диференціальне рівняння, що описує рух простого маятника:

${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.}$

де ${\displaystyle \ell }$ — довжина маятника, ${\displaystyle g}$ — прискорення сили тяжіння і ${\displaystyle \theta }$ — кут між маятником і вертикаллю вниз. У цій системі існує збережувана величина ${\displaystyle H}$ (гамільтоніан), яка визначається як

${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .}$

З цим визначенням можна побудувати траєкторію константи ${\displaystyle H}$ у фазовому просторі системи. Фазовий простір являє собою графік із ${\displaystyle \theta }$ по горизонтальній осі і ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ по вертикальній осі — див. рисунок праворуч. Тип отриманої траєкторії залежить від значення ${\displaystyle H}$.

Якщо ${\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$, то траєкторії не існує (оскільки ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ має бути уявним).

Якщо ${\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}}$, то траєкторія буде простою замкнутою кривою, яка є майже колом для малих ${\displaystyle H}$ і набуває форми «ока», коли ${\displaystyle H}$ наближається до верхньої межі. Ці траєкторії відповідають маятнику, який періодично коливається з боку в бік.

Якщо ${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}<H}$, то траєкторія незамкнута, і це відповідає маятнику, який вічно коливається повними колами.

У цій системі сепаратрисою є крива, яка відповідає ${\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}$. Вона розділяє фазовий простір на дві окремі області, кожна з яких має свій тип руху. Область усередині сепаратриси містить усі траєкторії фазового простору, які відповідають маятнику, що коливається вперед і назад, тоді як область поза сепаратрисою містить усі траєкторії фазового простору, які відповідають безперервному обертанню маятника по колу у вертикальних площинах.

У моделі Фітцг'ю — Нагумо, коли лінійна нулькліна^[en] пронизує кубічну нулькліну на лівій, середній і правій гілках по одному разу, система має сепаратрису. Траєкторії ліворуч від сепаратриси збігаються до лівої стійкої рівноваги, і аналогічно для правої. Сама сепаратриса є стійким многовидом^[en] для сідлової точки в середині.

Сепаратрису можна чітко побачити шляхом чисельного розв'язання траєкторій назад у часі. Оскільки при розв'язуванні траєкторій уперед у часі вони розходяться від сепаратриси, то при розв'язанні назад у часі траєкторії збігаються до сепаратриси.

• Logan, J. David, Applied Mathematics, 3rd Ed. , 2006, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ, pg. 65.

• Weisstein, Eric W. Сепаратриса(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.