Середня кривина

У диференціальній геометрії середня кривина поверхні в точці — це середнє арифметичне всіх головних кривин у цій точці.

Середня кривина належить до зовнішньої геометрії поверхні: якщо змінити напрямок нормалі поверхні, то її середня кривина змінить знак на протилежний.

Нехай B та D — матриці першої та другої квадратичних форм поверхні в точці P відповідно, тобто

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}},\quad D={\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}.}$

Тоді середня кривина H в точці P дорівнює половині сліду матриці ${\displaystyle D^{-1}B,}$ а саме

${\displaystyle H={\frac {EN-2MF+GL}{2(EG-F^{2})}}.}$

Якщо поверхня задана явно рівнянням ${\displaystyle z=f(x,y),}$ то

${\displaystyle H={\frac {(1+f_{y}^{2})f_{xx}-2f_{x}f_{y}f_{xy}+(1+f_{x}^{2})f_{yy}}{2\left(1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}$.

Поверхня, яка має нульову середню кривину в кожній своїй точці, називається мінімальною.

Якщо поверхня має найменшу площу серед усіх поверхонь, натягнутих на один і той самий контур, то вона є мінімальною.

Нехай поверхня X є межею двох середовищ і знаходиться у рівновазі. Нехай p₁, p₂ — тиски, які створюють на поверхню X перше та друге середовища відповідно, ${\displaystyle \lambda }$ — поверхневий натяг X. Тоді дана поверхня матиме наступну сталу середню кривину:

${\displaystyle H={\frac {1}{\lambda }}(p_{2}-p_{1}).}$

• Кривина Гаусса
• Закон Лапласа

• Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — 304 с. — ISBN 5-7768-0388-8. Архівовано з джерела 23 січня 2022
• Spivak, Michael (1999). A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) (вид. 3rd). Publish or Perish Press. ISBN 978-0-914098-72-0. (Volume 3), (Volume 4).