Сигнатура (лінійна алгебра)

Сигнату́ра — числова характеристика квадратичної форми або псевдоевклідового простору, в якому скалярний добуток задано за допомогою відповідної квадратичної форми.

Кожна квадратична форма з дійсними коефіцієнтами може бути зведена за допомогою невиродженої лінійної заміни змінних до канонічного вигляду

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-x_{p+2}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}.}$

Різниця ${\displaystyle p-q}$ між числом додатних і від'ємних членів у цьому записі називається сигнатурою квадратичної форми. Числа p і q сигнатури не залежать від способів зведення форми до канонічного вигляду (закон інерції Сильвестра).

Сигнатуру квадратичної форми також записують у вигляді пари чисел ${\displaystyle (p,q)}$ у вигляді ${\displaystyle (+\cdots +-\cdots -)}$ з відповідним числом плюсів і мінусів.

Квадратичну форму від двох змінних ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ можна звести до канонічного вигляду ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}^{2}-{\tilde {x}}_{2}^{2},}$, наприклад, за допомогою лінійної заміни змінних ${\displaystyle x_{1}={\tilde {x}}_{1}+{\tilde {x}}_{2},}$ ${\displaystyle x_{2}={\tilde {x}}_{1}-{\tilde {x}}_{2}.}$ Сигнатура цієї квадратичної форми дорівнює нулю або може бути записана у вигляді ${\displaystyle (1,1)}$ або у вигляді ${\displaystyle (+-).}$

• Псевдоевклідів простір
• Простір Мінковського
• Квадратична форма

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)