Симпліційний комплекс

Симпліці́йний комплекс — спеціальний топологічний простір, утворений «склеюванням» точок, відрізків, трикутників, тетраедрів і симплексів вищих порядків. Широко використовується в алгебраїчній топології для обчислень, зокрема гомологічних груп.

Нехай ${\displaystyle \ v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}}$ — вершини симплекса у векторному просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Позначимо ${\displaystyle [v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}]}$ — симплекс, що є опуклою комбінацією цих точок (натягнутий на точки ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}}$). Також позначимо ${\displaystyle (v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k})}$ — відкритий симплекс з даними вершинами, тобто множина точок барицентричні координати яких більші нуля, тобто ${\displaystyle x=\alpha _{0}\cdot v_{0}+\alpha _{1}\cdot v_{1}+\alpha _{2}\cdot v_{2}+\ldots +\alpha _{k}\cdot v_{k},}$ де ${\displaystyle \alpha _{0}+\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{k}=1}$ і також ${\displaystyle \alpha _{i}>0,\;i={\overline {0,k}}.}$

Для позначення відкритого і відповідного замкнутого симплексів також використовуються позначення (s) і [s]. Замкнутою (відкритою) гранню симплекса ${\displaystyle [s]=[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}]}$ називається замкнутий (відкритий) симплекс натягнутий на деяку підмножину точок ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}.}$

Симпліційним комплексом називається скінченна множина K відкритих симплексів, що задовольняє умови:

1. Якщо ${\displaystyle (s)\in K,}$ то всі відкриті грані замкнутого симплекса [s] теж належать K.
2. Якщо ${\displaystyle (s_{1}),(s_{2})\in K,}$ і також ${\displaystyle (s_{1})\cap (s_{2})\neq \varnothing ,}$ то ${\displaystyle (s_{1})=(s_{2}).}$

Еквівалентно можна визначити симпліційний комплекс, як скінченну множину K⁺ замкнутих симплексів, що задовольняє умови:

1. Якщо ${\displaystyle [s]\in K^{+},}$ то всі замкнуті грані [s] теж належать K⁺.
2. Якщо ${\displaystyle [s_{1}],[s_{2}]\in K^{+},}$ то ${\displaystyle [s_{1}]\cap [s_{2}]}$ є гранню обох симплексів ${\displaystyle [s_{1}],[s_{2}].\,}$

Множина точок, що належать симплексам із множини K позначається [K] або |K|. Такі множини називаються поліедрами.

Підкомплексом симпліційного комплексу K називається симпліційний комплекс L, такий що з ${\displaystyle (s)\in L}$ випливає ${\displaystyle (s)\in K.}$

Розмірністю симпліційного комплексу називається найбільша з розмірностей симплексів, що входять до цього комплексу.

Нехай K — симпліційний комплекс. Підрозбиттям цього симпліційного комплексу називається комплекс K', що задовольняє умови:

1. ${\displaystyle |K|=|K^{'}|,}$ тобто множини точок обох поліедрів рівні.
2. Якщо ${\displaystyle (s)\in K^{'},}$ то ${\displaystyle (s)\subset (t),\,(t)\in K.}$

Нехай ${\displaystyle (v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})\in K}$ — деякий відкритий симплекс, що належить комплексу K. Барицентричним підрозбиттям цього симплекса називається симпліційний комплекс симплекси якого мають вигляд ${\displaystyle (b(p_{0}),b(p_{0},p_{1}),\ldots ,b(p_{0},\ldots ,p_{k})),}$ де ${\displaystyle b(p_{0},\ldots ,p_{k}),\,k\leqslant n}$ — барицентр симплекса утвореного точками ${\displaystyle p_{0},p_{1},\dots ,p_{k},}$ а ${\displaystyle p_{0},p_{1},\dots ,p_{n}}$ — усі можливі перестановки точок ${\displaystyle v_{0},v_{1},\dots ,v_{n}.}$ Розбивши таким чином усі симплекси комплексу K одержуємо барицентричне підрозбиття усього комплексу K. Дане підрозбиття позначається K⁽¹⁾. Індуктивно можна визначити підрозбиття K⁽ⁿ⁾ для будь-якого цілого числа n.

Значення барицентричного підрозбиття полягає в тому, що воно в деякому сенсі, стає щоразу «дрібнішим». А саме якщо позначити:

${\displaystyle \operatorname {mesh} \,K=\max _{(s)\in K}\,\operatorname {diam} [s]}$

де:

${\displaystyle \operatorname {diam} \,T=\sup _{t_{1},t_{2}\in T}\rho (t_{1},t_{1}),}$

де метрика в даному випадку породжена евклідовою нормою, то виконується властивість:

${\displaystyle \operatorname {mesh} \,K^{(1)}\leqslant {\frac {m}{m+1}}\operatorname {mesh} \,K,}$ де m — розмірність комплексу K.

Зокрема:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {mesh} \,K^{(n)}=0}$

Якщо K є симпліційним комплексом і L — його підкомплексом, то існує узагальнення барицентричного підрозбиття яке, умовно кажучи, розбиває лише ті симплекси, які не належать L. А саме кожен відкритий симплекс у K можна записати (після, можливо, перенумерації вершин) як ${\displaystyle (v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})}$ де ${\displaystyle (v_{0},v_{1},\dots ,v_{s})}$ є симплексом, що належить L, і жодна грань вищої розмірності, що містить ${\displaystyle (v_{0},v_{1},\dots ,v_{s})}$, не належить L. Як крайні випадки жодна вершина ${\displaystyle (v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})}$ може не належати L або весь цей симплекс може належати L.

Для вказаного вище запису усі симплекси із вершинами ${\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{s},b(v_{0},\ldots ,p_{s+1}),\ldots ,b(v_{0},\ldots ,p_{n})),}$ де ${\displaystyle b(v_{0},\ldots ,v_{s},\ldots p_{k}),\,s\leqslant k\leqslant n}$ — барицентр симплекса утвореного точками ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{s},\ldots p_{k}}$ а ${\displaystyle p_{s+1},p_{s+2},\dots ,p_{n}}$ — усі можливі перестановки точок ${\displaystyle v_{s+1},v_{s+2},\dots ,v_{n}}$ є симплексами комплексу (K, L)' .

Загалом усі симплекси (K, L)' одержуються поділом усіх симплексів через записи їх у виді ${\displaystyle (v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})}$ де перші кілька вершин є вершинами максимальної грані симплекса, що належить L (один симплекс може мати кілька граней, що є для нього максимальними серед тих, що належать L).

Нехай K і L — два комплекси і v — відображення вершин комплексу K у вершини комплексу L. Це відображення v називається допустимим, якщо з того, що ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$ — вершини деякого симплекса комплексу K, випливає, що ${\displaystyle v(a_{0}),v(a_{1}),\dots ,v(a_{n})}$ є вершинами деякого симплекса комплексу L; серед вершин ${\displaystyle v(a_{0}),v(a_{1}),\dots ,v(a_{n}),}$ деякі можуть повторюватися. Кожне таке відображення визначає деяке відображення ${\displaystyle {\tilde {v}}}$, лінійне на кожному симплексі з K, тобто якщо ${\displaystyle (s)=(v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k})}$ і:

${\displaystyle p=\sum _{i=0}^{k}a_{i}v_{i}\,\in (s)}$

тоді

${\displaystyle {\tilde {v}}(p)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}{\tilde {v}}(v_{i}).}$

Відображення ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ є неперервним. Його називають симпліційним відображенням поліедра |К| в |L|, оскільки воно узгоджується з розбиттям поліедрів |К| і |L| на симплекси і афінною структурою цих симплексів.

Нехай K — симпліційний комплекс і v — деяка його вершина. Тоді зіркою у вершині v називається множина:

${\displaystyle \operatorname {St} (v)=\cup _{v\in [s],(s)\in K}(s).}$

Нехай K, L — симпліційні комплекси, ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$ — неперервне відображення між відповідними поліедрами. Тоді симпліційне відображення ${\displaystyle \phi :K\to L}$ називається сипліційним наближенням f, якщо ${\displaystyle f(\operatorname {St} (v))\subset \operatorname {St} (\phi (v)),\,\,\forall v\in K.}$

• ${\displaystyle \operatorname {St} (v)}$ є відкритою множиною у |K| і v є єдиною вершиною комплексу K, що належить ${\displaystyle \operatorname {St} (v).}$
• Нехай ${\displaystyle \phi :K\to L}$ є симпліційним наближенням ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$ і ${\displaystyle p\in |K|.}$ Тоді ${\displaystyle f(p)}$ і ${\displaystyle \phi (p)}$ належать одному замкнутому симплексу в L.
• Нехай ${\displaystyle f:K\to L}$ — симпліційне відображення і ${\displaystyle \phi }$ його симпліційне наближення. Тоді ${\displaystyle \phi =f.}$

Нехай ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$ — неперервне відображення. Тоді для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існують підрозбиття K_n для K і L_m для L, що існує симпліційне наближення ${\displaystyle \phi :K_{n}\to L_{m}}$ відображення f, для якого:

${\displaystyle d(f,\phi )<\varepsilon }$

де

${\displaystyle d(f,\phi )=\sup _{p\in |K|}\rho (f(p),\phi (p)).}$

• n-вимірним кістяком комплексу називають підкомплекс, утворений усіма його симплексами розмірності не більше n.

• Розмірність симпліційного комплексу визначають як найбільшу розмірність його симплексів.

Нехай K — симпліційний комплекс, і S — деякий набір симплексів у K.

• Замикання ${\displaystyle S}$ (позначають ${\displaystyle {\textrm {Cl}}S}$) — найменший підкомплекс у ${\displaystyle K}$, який містить кожен симплекс із ${\displaystyle S}$. Замикання ${\displaystyle {\bar {S}}}$ можна отримати додаванням до ${\displaystyle S}$ усіх граней усех симплексів із ${\displaystyle S}$.

• 
  Два симплекси та їх замикання.

• Зірка від ${\displaystyle S}$ (позначають ${\displaystyle {\textrm {St}}S}$) — об'єднання зірок усіх симплексів у ${\displaystyle S}$. Для одного симплекса ${\displaystyle S}$ зірка ${\displaystyle S}$ — це набір симплексів, які мають ${\displaystyle S}$ своєю гранню. (Зірка ${\displaystyle S}$, як правило, не є симпліційним комплексом).

• 
  Вершина та її зірка
• 
  Вершина та її лінк

• Лінк ${\displaystyle S}$ (позначають ${\displaystyle {\textrm {Lk}}S}$) можна визначити як
  ${\displaystyle {\textrm {Lk}}S={\textrm {Cl}}({\textrm {St}}S)\backslash {\textrm {St}}({\textrm {Cl}}S).}$
  Це — підкомплекс, утворений усіма симплексами, що входять у симплекси вищої розмірності разом зі симплексом із ${\displaystyle S,}$ але які не мають граней із ${\displaystyle S}$.

• Абстрактний симпліційний комплекс
• Барицентричні координати
• Симплекс
• Симпліційна гомологія
• Теорема Крускала — Катони
• Симпліційний многогранник
• Симпліційна сфера

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1986,
• П. Хилтон, С. Уайли Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. – М.: Мир, 1966. – 452 с.
• Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3

• Weisstein, Eric W. Simplicial complex(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.