Список границь

Це список границь для поширених функцій.

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}$ для всіх ${\displaystyle c,a\in \mathbb {R} }$.

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}$ для всіх ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b}$ для всіх ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}}$ для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{не існує}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}$ для всіх ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$.

Загалом, якщо ${\displaystyle p(x)}$ є поліномом, то за неперервністю поліномів

${\displaystyle \lim _{x\to c}p(x)=p(c)}$.

Це також справедливо для раціональних функцій, оскільки вони неперервні у своїй області визначення.

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}}$. Зокрема
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}}$. Зокрема
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty }$ для будь-якого ${\displaystyle a>0}$^[1]
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&n{\text{ - непарне}}\\+\infty ,&n{\text{ - парне}}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0}$ для довільного ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$.

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{не існує}},&a<0\end{cases}}}$.

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}$.

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e}$ — друга чудова границя;^[2]
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=\lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}}$.

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a}}$ для всіх ${\displaystyle a>0}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a}$ для всіх ${\displaystyle a>0}$.

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c}$ для всіх ${\displaystyle c>0}$. Зокрема
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }$,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=+\infty }$.
• ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a}$ — виводиться за правилом Лопіталя;
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=0}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$.

Для b > 1,

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\infty }$,
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=\infty }$.

Для b < 1,

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=\infty }$,
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=-\infty }$.

Для обох випадків можна узагальнити:

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-F(b)\infty }$,
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=F(b)\infty }$,

де ${\displaystyle F(x)=2H(x-1)-1}$ і ${\displaystyle H(x)}$ — функція Гевісайда.

• ${\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ — перша чудова границя. Узагальнення:
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1}$ при ${\displaystyle a\neq 0}$,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}$ для всіх ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$,
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}$ при ${\displaystyle b\neq 0}$.

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to n^{\pm }}\operatorname {tg} \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }$ для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \sin \cdots \sin(x_{0})} _{n}=0}$, де ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ — довільне.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \cos \cdots \cos(x_{0})} _{n}=d}$, де ${\displaystyle d}$ — число Дотті^[en], ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ — довільне.

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)