Спроможність (статистика)

У статистиці спромо́жність^[1]^[2]^[3]^[4] (англ. consistency) процедур, як-от обчислення довірчих інтервалів і здійснення перевірки гіпотез, є властивість їхньої бажаної поведінки, коли кількість елементів у наборі даних, до якого їх застосовують, зростає до нескінченності. Зокрема, спроможність означає, що зі збільшенням розміру вибірки результат процедури наближається до правильного.^[5] Використання цього терміна в статистиці походить від Рональда Фішера 1922 року.^[6]

Терміни спроможність (англ. consistency) та спроможний (англ. consistent) у статистиці застосовують лише у випадках, коли по суті ту саму процедуру можливо застосувати до будь-якої кількості елементів даних. У складних застосуваннях статистики існують різні способи, якими може зростати ця кількість елементів даних. Наприклад, записи про кількість опадів у певній місцевості можуть збільшуватися трьома способами: записами за додаткові часові періоди; записами для додаткових пунктів спостереження у незмінній області; записами для додаткових місць спостереження, отриманих шляхом розширення розміру цієї області. В таких випадках властивість спроможності може бути обмеженою лише одним або кількома можливими способами зростання розміру вибірки.

Оцінювачі

Спроможний оцінювач (англ. consistent estimator) — це оцінювач, для якого, якщо оцінку розглядати як випадкову величину, що залежить від кількості n елементів у наборі даних, то зі збільшенням n ці оцінки збігаються за ймовірністю до значення, яке цей оцінювач призначений оцінювати.

Оцінювач, що має спроможність за Фішером(інші мови) (англ. Fisher consistency), — це такий, застосування якого до всієї сукупності, а не до вибірки, дало би істинне значення оцінюваного параметра.

Перевірки

Докладніше: Перевірка статистичних гіпотез

Спроможна перевірка (англ. consistent test) — це така перевірка, для якої потужність щодо незмінної хибної гіпотези зі збільшенням кількості елементів даних прямує до одиниці.^[5]

Класифікування

У статистичному класифікуванні спроможний класифікатор (англ. consistent classifier) — це такий, для якого ймовірність правильної класифікації за заданого тренувального набору зі збільшенням розміру цього набору наближається до найкращої ймовірності, теоретично можливої, якби розподіли в загальній сукупності були повністю відомі.

Взаємозв'язок із незміщеністю

Оцінювач або перевірка можуть бути спроможними, не будучи незміщеними.^[7] Класичним прикладом є вибіркове стандартне відхилення, що є зміщеним оцінювачем, але майже напевно збігається до очікуваного стандартного відхилення за законом великих чисел. Іншими словами, незміщеність не є необхідною умовою спроможності, тож на практиці можуть застосовувати зміщені оцінювачі й перевірки, з очікуванням, що результати будуть надійними, особливо за великих обсягів вибірки (зважаючи на визначення спроможності). Натомість оцінювач або перевірка, які не є спроможними, може бути важко виправдати в практиці, оскільки збирання додаткових даних не дає асимптотичної гарантії покращення якості результату.

Див. також

Примітки

↑ Васильків, І. М. (2020). Розділ 11. Статистичне оцінювання параметрів розподілу (PDF). Основи теорії ймовірностей і математичної статистики (PDF) (укр.). Львів: ЛНУ. с. 124—126. ISBN 978-617-10-0354-5.
↑ Мазманішвілі, О. С.; Шовкопляс, О. А., ред. (2014). Тема 11. Статистична теорія оцінювання параметрів розподілу (PDF). Методичні вказівки до практичних робіт із кусу «Теорія ймовірностей та математична статистика» (укр.). Суми: СумДУ. Архів оригіналу (PDF) за 10 січея 2025.
↑ Жуковська, О. А.; Глушаускене, Г. А.; Файнзільберг, Л. С. (2008). Дослідження властивостей модифікованої оцінки дисперсії випадкової величини за вибіркою незалежних спостережень (PDF). Наукові вісті НТУУ «КПІ». Теоретичні та прикладні проблеми фізико-математичних наук (укр.). Київ: НТУУ «КПІ». 4: 139—145.
↑ Ткачук, О.; Скачков, В. (2019). Estimation of correlation matrix of observations at the fixed signal level by maximum likelihood criterion. Збірка наукових праць «Цифрові технології» (англ.) (25): 58—64.
↑ ^а ^б Dodge, Y. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms (англ.). OUP. ISBN 0-19-920613-9. (розділи щодо спроможності, англ. consistency, спроможного оцінювача, англ. consistent estimator, спроможної перевірки, англ. consistent test)
↑ Upton, G.; Cook, I. (2006). Oxford Dictionary of Statistics (англ.) (вид. 2nd). OUP. ISBN 978-0-19-954145-4.
↑ Vaart, A. W. van der (13 жовтня 1998). Asymptotic Statistics (англ.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-80225-6.