Співскінченність

У математиці підмножину ${\displaystyle A}$ множини ${\displaystyle X}$ називають коскінченною, якщо її доповнення в ${\displaystyle X}$ — скінченна множина. Тобто підмножина ${\displaystyle A}$ містить усі елементи множини ${\displaystyle X}$ за винятком скінченної кількості. Якщо ж доповнення до ${\displaystyle A}$, тобто ${\displaystyle X\setminus A}$, нескінченне, але зліченне, то таку множину називають козліченною.

Такі множини виникають внаслідок узагальнення структур скінченних множин до нескінченних, як-от нескінченні добутки в топології добутку або прямій сумі.

Префікс "ко" походить від англійського complement (укр. — "доповнення") і вказує на те, що цю властивість множини визначає її доповнення, а не сама множина.

Множина всіх підмножин множини ${\displaystyle X}$, які скінченні або коскінченні, утворює булеву алгебру, тобто множину, замкнену відносно об'єднання, перетину й доповнення.Булева алгебра є скінченно-коскінченною алгеброю на множині ${\displaystyle X}$.

Також булева алгебра ${\displaystyle A}$ має єдиний неголовний ультрафільтр (тобто, максимальний фільтр, який не породжений єдиним елементом алгебри) тоді й лише тоді, якщо існує нескінченна множина ${\displaystyle X}$ така, що ${\displaystyle A}$ ізоморфна скінченно-коскінченній алгебрі на множині ${\displaystyle X}$. Тоді неголовним ультрафільтром буде множина всіх коскінченних підмножин множини ${\displaystyle X}$.

Коскінченну топологію можна визначити на будь-якій множині ${\displaystyle X}$. Відкритими множинами в такій топології є всі коскінченні підмножини носія та порожня множина. Математично це записують так:

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing \vee \left|X\setminus A\right|<\left|\mathbb {N} \right|\}}$

З означення випливає, що замкненими множинами такого простору будуть усі скінченні підмножини носія.

Ця топологія з'являється в контексті топології Зариського. Оскільки поліноми однієї змінної над полем ${\displaystyle K}$ нульові на скінченних множинах або на всьому полі ${\displaystyle K}$, топологія Зариського на ${\displaystyle K}$ (розглядають як пряму) збігається з коскінченною топологією.

Це має місце для будь-якої незвідної алгебраїчної кривої, проте не справджується, наприклад, для ${\displaystyle XY=0}$ на площині.

• Будь-яка топологія підпростору коскінченної топології також є коскінченною топологією.

• Оскільки всі відкриті множини містять весь простір, окрім скінченної кількості елементів, простір із коскінченною топологією є компактним і секвенційно компактним.

• Будь-яка послідовність ${\displaystyle a_{n}}$, у якої всі елементи різні, тобто ${\displaystyle a_{i}\neq a_{j}}$ якщо ${\displaystyle i\neq j}$, збігається до будь-якої точки коскінченного простору.

• Коскінченна топологія є найслабшою топологією, що задовольняє аксіому ${\displaystyle T_{1}}$, тобто це найменша за включенням топологія, в якій кожна одноелементна множина є замкненою.

• Якщо носій топології ${\displaystyle X}$ — скінченна множина, то коскінченна топологія збігається з дискретною.

• Якщо носій топології ${\displaystyle X}$ — нескінченна множина, то простір не є гаусдорфовим, регулярним, нормальним, оскільки в ньому немає двох неперетинних відкритих множин (тобто він гіперзв'язний).

Розглянемо добуток двох топологічних просторів ${\displaystyle {\bigl (}X,\tau {\bigr )}}$ і ${\displaystyle {\bigl (}\{0,1\},\sigma {\bigr )}}$, де ${\displaystyle \tau }$ — коскінченна топологія, а ${\displaystyle \sigma }$ — антидискретна топологія. Отриманий простір ${\displaystyle {\bigl (}{\hat {X}},{\hat {\tau }}{\bigr )}}$ називають двоточковою коскінченною топологією. Тобто це простір, у якому кожен елемент множини ${\displaystyle X}$ дубльований.

"Дубльовані" елементи такого простору мають ідентичні множини околів, тому простір не є ${\displaystyle T_{1}}$ і ${\displaystyle T_{0}}$, однак цей простір є ${\displaystyle R_{0}}$, адже точки з різними множинами околів є роздільними^[en]. Він компактний, оскільки отриманий як добуток двох компактних просторів.

Прикладом такого топологічного простору є множина ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цілих чисел, де "дублями" вважаються пари ${\displaystyle 2n}$ та ${\displaystyle 2n+1}$. Замкнені множини визначені як скінченні об'єднання таких пар або весь простір ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, відповідно відкриті множини — це доповнення до замкнених, тобто відкрита множина містить усі елементи простору за винятком скінченної кількості.

• Козліченність
• Фільтр Фреше

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (перевидання Dover 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (див. приклад 18).