Сфера Пуанкаре

Сфера Пуанкаре — приклад гомологічної тривимірної сфери, тобто, тривимірний многовид, всі гомологічні групи якого збігаються з гомологічними групами тривимірної сфери.

Приклад був побудований Анрі Пуанкаре. Цей приклад показує, що умова на фундаментальну групу в гіпотезі Пуанкаре не може бути ослаблена до умови на групи гомологій.

• Сфера Пуанкаре може бути отримана з додекаедра склеюванням кожної грані з протилежною, повернутою на кут ${\displaystyle \pi /5}$ за годинниковою стрілкою.
• Сфера Пуанкаре може бути також отримана як фактор групи обертань по групі ікосаедра: SO(3)/I.
• Сфера Пуанкаре може бути також отримана з тривимірної сфери перебудовою Морса уздовж трилисника.

• Сфера Пуанкаре — єдина гомологічна тривимірна сфера, що відмінна від стандартної сфери і має скінчену фундаментальну групу.
• Надбудова сфери Пуанкаре є чотиривимірним гомологічним многовидом, але не топологічним многовидом.
• Подвійна надбудова сфери Пуанкаре гомеоморфна стандартній п'ятивимірній сфері.

• Гомологічна сфера

• Poincaré’s homology sphere^{[недоступне посилання з травня 2019]} на Manifold Atlas Project