Теорема Аполлонія

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (грудень 2019)

Теорема Аполлонія пов'язує лінійні елементи в трикутнику. Нехай дано трикутник ${\displaystyle ABC}$, точка ${\displaystyle D}$ лежить на стороні ${\displaystyle BC}$ і ділить її у співвідношенні ${\displaystyle n:m}$ (тобто ${\displaystyle mBD=nDC}$), тоді справедлива рівність:

${\displaystyle mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}.\,}$

Якщо ${\displaystyle m=n=1}$, тобто коли ${\displaystyle AD}$ є медіаною опущеною на сторону ${\displaystyle BC}$, то теорема спрощується:

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2})\,\!}$

Крім того якщо ${\displaystyle AB=AC}$, то трикутник рівнобедрений і теорема спрощується до теореми Піфагора.

${\displaystyle AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}(=AC^{2}).\,}$

• Теорема Стюарта
• Задача Аполлонія

• Charles Godfrey, Arthur Warry Siddons. Modern Geometry. — University Press, 1908. — P. 20.
• Apollonius Theorem на PlanetMath.(англ.)